Ensino Superior ⇒ Hipérboles Tópico resolvido

[DudaS]

Determine o lugar geométrico dos centros de todas as circunferências tangentes ao eixo y e que cortam um segmento de comprimento 2a no eixo x

Não entendi direito a pergunta nem como resolver. Agradeço qualquer ajuda!

[παθμ]

DudaS,

Não entendi direito a pergunta nem como resolver.

Para uma circunferência tangente ao eixo y e que corta um segmento de comprimento [tex3]2a[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2a[/tex3]

no eixo x, você vai conseguir encontrar uma equação envolvendo [tex3]x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x[/tex3]

e [tex3]y[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y[/tex3]

(as coordenadas do centro) para todas essas circunferências. Isso delimita uma curva. Ou seja, esse é o lugar geométrico dos centros das circunferências que satisfazem a condição.

Primeiramente, para a circunferência ser tangente ao eixo y, temos [tex3]x= \pm R,[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x= \pm R,[/tex3]

onde [tex3]R[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]R[/tex3]

é o raio.

Para ela delimitar um segmento de tamanho 2a no eixo x:

fac65411-383b-48a3-a772-4bb9998fedfd.jpg (14.96 KiB) Exibido 257 vezes

Pitágoras: [tex3]y^2+a^2=R^2 \Longrightarrow y=\sqrt{R^2-a^2}.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y^2+a^2=R^2 \Longrightarrow y=\sqrt{R^2-a^2}.[/tex3]

Mas [tex3]y[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y[/tex3]

ser menos esse resultado obviamente também dá certo.

Ou seja, [tex3]y= \pm \sqrt{R^2-a^2}= \pm \sqrt{x^2-a^2} \Longrightarrow y^2=x^2-a^2 \Longrightarrow \boxed{x^2 - y^2 = a^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y= \pm \sqrt{R^2-a^2}= \pm \sqrt{x^2-a^2} \Longrightarrow y^2=x^2-a^2 \Longrightarrow \boxed{x^2 - y^2 = a^2}[/tex3]

[DudaS]

παθμ, entendi,muito obgd!