Ensino Superior ⇒ Equação Homogênea Tópico resolvido

[victorzerah]

Estou com muita dificuldade nestas duas equações. Se alguém puder me ajudar agradeço.

1) A solução de uma equação diferencial é uma função y ou y(x), se a equação for nestas variáveis. Resolva a equação homogênea (y²+xy)dx – x²dy=0, obtém-se uma função y(x). Se o ponto y(1)=2 pertence a esta função, então pode-se afirmar que o modulo do valor aproximado de y(3), é:

(a) 2
(a) -1
(a) -3
(a) -5
(a) 4

2) A solução de uma equação diferencial é uma função y ou y(x), se a equação for nestas variáveis. Resolva a equação homogênea dy/dx = y/x + x/y, obtém-se uma função y(x). Se o ponto y(1)=2 pertence a esta função, então pode-se afirmar que o modulo do valor aproximado de y(2), é:

(a) 5
(a) 9
(a) 7
(a) 11
(a) 3

[Cardoso1979]

Observe

1) A solução de uma equação diferencial é uma função y ou y(x), se a equação for nestas variáveis. Resolva a equação homogênea (y²+xy)dx – x²dy=0, obtém-se uma função y(x). Se o ponto y(1)=2 pertence a esta função, então pode-se afirmar que o modulo do valor aproximado de y(3), é:

(a) 2
(a) -1
(a) -3
(a) -5
(a) 4

Uma solução:

Como o autor afirma no enunciado que se trata de uma EDO homogênea, então

x² dy = ( y² + xy ) dx

x² [tex3]\frac{dy}{dx}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{dy}{dx}[/tex3]

= y² + xy ( I )

Vamos utilizar a seguinte transformação:

y = x.u ( I I )

Obs. Se você quiser poderia usar também x = y.u , você tem que ver qual a melhor substituição ( a mais adequada, ou seja , a que lhe dê menos trabalho ! ).

Derivando em relação a x , temos:

[tex3]\frac{dy}{dx}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{dy}{dx}[/tex3]

= u + x [tex3]\frac{du}{dx}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{du}{dx}[/tex3]

( I I I ) ( Por quê???)

Substituindo ( I I ) e ( I I I ) em ( I ) , vem;

x².[tex3]\left( u + x\frac{du}{dx}\right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\left( u + x\frac{du}{dx}\right)[/tex3]

= x²u² + x²u
x²u + x².x [tex3]\frac{du}{dx}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{du}{dx}[/tex3]

= x²u² + x²u

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{1}{u^2} \ du = \int\limits_{}^{} \frac{1}{x} \ dx[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{1}{u^2} \ du = \int\limits_{}^{} \frac{1}{x} \ dx[/tex3]

- ( 1/u ) + c = ln | x | + k

- 1/u = ln| x | + C

Mas, y = x.u → u = y/x , daí;

- x/y = ln | x | + C

y( x ) = - x/( ln | x | + C )

Como y( 1 ) = 2 , fica;

y( 1 ) = - 1/( ln | 1 | + C )

2 = - 1/( 0 + C )

C = - 1/2

Logo,

y( x ) = - 2x/[ ln ( x² ) - 1 ]


Por fim, vamos calcular o módulo de y( 3 ) , temos que

y( 3 ) = - 6/[ ln ( 9 ) - 1 ]

y( 3 ) = - 5

| y( 3 ) | = 5

Portanto, o módulo de y( 3 ) é 5.

Ih mano!!! Veja aí se eu não cometi algum erro.


Excelente estudo!

[victorzerah]

Está correto! Muito obrigado pela explicação.
Estou tentando fazer as outras sozinho e já está saindo alguma coisa rsrs.

[Cardoso1979]

Está correto! Muito obrigado pela explicação.
Estou tentando fazer as outras sozinho e já está saindo alguma coisa rsrs.

Disponha