Ensino Superior ⇒ Cálculo 1

[vrauvrau123]

Considerando a função f(x) = (tan(lnx))/x, que é definida no intervalo [e^-{\pi/4}, e^{\pi/3}].

Calcule a integral de f(x).

Calcule a área da região entre o gráfico da função f e o eixo x no intervalo em que a função é definida.

[deOliveira]

[tex3]\int\frac{\tan(\ln(x))}xdx[/tex3]

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[tex3]\int\frac{\tan(\ln(x))}xdx[/tex3]

Vamos fazer a substituição [tex3]u=\ln x[/tex3]

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[tex3]u=\ln x[/tex3]

, [tex3]du=\frac1xdx[/tex3]

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[tex3]du=\frac1xdx[/tex3]

[tex3]\int\frac{\tan(\ln(x))}xdx=\int\tan udu=ln|\sec u|+k=\ln|\sec(\ln x)|+k[/tex3]

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[tex3]\int\frac{\tan(\ln(x))}xdx=\int\tan udu=ln|\sec u|+k=\ln|\sec(\ln x)|+k[/tex3]

Portanto:
[tex3]\int^{e^{\frac\pi3}}_{e^{-\frac\pi4}}\frac{\tan(\ln (x))}xdx=\[\ln|\sec(\ln x)|\]^{e^{\frac\pi3}}_{e^{-\frac\pi4}}=\\
\ln|\sec(\ln e^\frac\pi3)|-\ln|\sec(\ln e^{-\frac\pi4})|=\\
\ln|\sec\pi/3|-\ln|\sec (-\pi/4)|=\\
\ln2-ln(\sqrt2)=\\
\ln\(\frac2{\sqrt2}\)=\\
\ln(\sqrt2)[/tex3]

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[tex3]\int^{e^{\frac\pi3}}_{e^{-\frac\pi4}}\frac{\tan(\ln (x))}xdx=\[\ln|\sec(\ln x)|\]^{e^{\frac\pi3}}_{e^{-\frac\pi4}}=\\
\ln|\sec(\ln e^\frac\pi3)|-\ln|\sec(\ln e^{-\frac\pi4})|=\\
\ln|\sec\pi/3|-\ln|\sec (-\pi/4)|=\\
\ln2-ln(\sqrt2)=\\
\ln\(\frac2{\sqrt2}\)=\\
\ln(\sqrt2)[/tex3]

Para clacular a área entre [tex3]f(x)[/tex3]

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[tex3]f(x)[/tex3]

e o eixo [tex3]x[/tex3]

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[tex3]x[/tex3]

no intervalo de definição de [tex3]f[/tex3]

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[tex3]f[/tex3]

temos de saber quando [tex3]f[/tex3]

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[tex3]f[/tex3]

é positiva e quando é negativa.

[tex3]f(x)>0\\\frac{\tan(\ln(x))}x>0[/tex3]

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[tex3]f(x)>0\\\frac{\tan(\ln(x))}x>0[/tex3]

Como [tex3]x\in[e^{-\frac\pi4},e^\frac\pi3][/tex3]

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[tex3]x\in[e^{-\frac\pi4},e^\frac\pi3][/tex3]

, temos que [tex3]x[/tex3]

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[tex3]x[/tex3]

é sempre positivo, então
[tex3]f(x)=\frac{\tan(\ln (x))}x>0\iff\tan(\ln(x))>0[/tex3]

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[tex3]f(x)=\frac{\tan(\ln (x))}x>0\iff\tan(\ln(x))>0[/tex3]

[tex3]y=\ln(x)[/tex3]

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[tex3]y=\ln(x)[/tex3]

é uma função contínua estritamente crescente, então, pelo teorema dos valores intermediários, temos que
[tex3]x\in[e^{-\frac\pi4},e^\frac\pi3]\implies y=\ln(x)\in\[-\frac\pi4,\frac\pi3\]\\
\implies \tan y=\tan(\ln(x))>0\iff y=\ln(x)\in\(0,\frac\pi3\)\iff x\in\(1,\frac\pi3\)[/tex3]

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[tex3]x\in[e^{-\frac\pi4},e^\frac\pi3]\implies y=\ln(x)\in\[-\frac\pi4,\frac\pi3\]\\
\implies \tan y=\tan(\ln(x))>0\iff y=\ln(x)\in\(0,\frac\pi3\)\iff x\in\(1,\frac\pi3\)[/tex3]

Dessa forma, a área é dada por
[tex3]A=-\int_{e^{-\frac\pi4}}^1\frac{\tan(\ln (x))}xdx+\int_1^{e^\frac\pi3}\frac{\tan(\ln (x))}xdx=\\
-\ln|\sec(\ln1)|+\ln|\sec(\ln e^{-\frac\pi4})|+\ln|\sec(\ln e^\frac\pi3)|-\ln|\sec(\ln1)|=\\
-2\ln|\sec0|+\ln|\sec(-\pi/4)|+\ln|\sec(\pi/3)|=\\
-2\ln1+\ln (\sqrt2)+\ln2=\\
\ln(2\sqrt2)[/tex3]

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[tex3]A=-\int_{e^{-\frac\pi4}}^1\frac{\tan(\ln (x))}xdx+\int_1^{e^\frac\pi3}\frac{\tan(\ln (x))}xdx=\\
-\ln|\sec(\ln1)|+\ln|\sec(\ln e^{-\frac\pi4})|+\ln|\sec(\ln e^\frac\pi3)|-\ln|\sec(\ln1)|=\\
-2\ln|\sec0|+\ln|\sec(-\pi/4)|+\ln|\sec(\pi/3)|=\\
-2\ln1+\ln (\sqrt2)+\ln2=\\
\ln(2\sqrt2)[/tex3]

Espero ter ajudado.