Ensino Superior ⇒ Cálculo 1

[Jota03]

A água escoa de um reservatório em forma de cone circular reto, com raio da base de [tex3]3m[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]3m[/tex3]

e altura de [tex3]27m[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]27m[/tex3]

, colocado com vértice para baixo. O volume da água está variando a uma taxa de [tex3]-121m^3/min[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]-121m^3/min[/tex3]

.
O raio da superfície da água está variando a uma taxa de [tex3]- \frac{\alpha}{\pi} m/min[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]- \frac{\alpha}{\pi} m/min[/tex3]

, quando o nível da água está a [tex3]11m[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]11m[/tex3]

do vértice. Escreva o valor de [tex3]\alpha[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\alpha[/tex3]

.

[careca]

[tex3]\frac{dV}{dt}=-121m^3/min[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{dV}{dt}=-121m^3/min[/tex3]

[tex3]V = \frac{1}{3}\pi.r^2.h[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]V = \frac{1}{3}\pi.r^2.h[/tex3]

Pela geometria do problema:

taxas.png (28.43 KiB) Exibido 144 vezes

[tex3]\frac{r}{11} = \frac{3}{27} --> r=\frac{11}{9}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{r}{11} = \frac{3}{27} --> r=\frac{11}{9}[/tex3]

Derivando:

[tex3]\frac{dV}{dt}=-121m^3=\frac{2}{3}\pi .r.h \frac{dr}{dt} --> -121 =\frac{2}{3}\pi \frac{11}{9}.11.\frac{dr}{dt} => \frac{dr}{dt} =-\frac{27}{2\pi }=-\frac{13,5}{\pi } => \alpha =13,5[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{dV}{dt}=-121m^3=\frac{2}{3}\pi .r.h \frac{dr}{dt} --> -121 =\frac{2}{3}\pi \frac{11}{9}.11.\frac{dr}{dt} => \frac{dr}{dt} =-\frac{27}{2\pi }=-\frac{13,5}{\pi } => \alpha =13,5[/tex3]