Ensino Superiorsubespaço com polinomios Tópico resolvido

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thetruth
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Mai 2021 17 23:43

subespaço com polinomios

Mensagem não lida por thetruth »

como saber se esse conjunto é subespaço de P3 [tex3]\mathbb({R})[/tex3] ??

questao-subespaço.jpg
questao-subespaço.jpg (2.28 KiB) Exibido 421 vezes
não faço ideia de como resolver isso.




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Cardoso1979
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Mai 2021 18 12:24

Re: subespaço com polinomios

Mensagem não lida por Cardoso1979 »

Observe

Uma verificação:

Devemos verificar as duas condições no teorema.

TEOREMA:

Se W for um conjunto de um ou mais vetores num espaço vetorial V, então W é um subespaço de V se, e só se, as condições seguintes forem válidas.

(a) Se u e v forem vetores em W, então u + v está em W.

(b) Se a for um escalar qualquer e u algum vetor de W, então au está em W.


Verificação da primeira condição, vamos tomar dois polinômios quaisquer do conjunto dado, temos:

[tex3]P_{1}( x ) = a_{1}x^3 + b_{1}x^2 + c_{1}x + d_{1} \ \ ; \ \ a_{1} + b_{1} + c_{1} + d_{1} = 0 [/tex3]

e

[tex3]P_{2}( x ) = a_{2}x^3 + b_{2}x^2 + c_{2}x + d_{2} \ \ ; \ \ a_{2} + b_{2} + c_{2} + d_{2} = 0 [/tex3] .


[tex3]P_{1}( x ) + P_{2}( x ) : [/tex3]

[tex3]P_{1}( x ) + P_{2}( x ) = ( a_{1}x^3 + b_{1}x^2 + c_{1}x + d_{1} ) + ( a_{2}x^3 + b_{2}x^2 + c_{2}x + d_{2} )[/tex3]

Agrupando os termos semelhantes, fica;

[tex3]P_{1}( x ) + P_{2}( x ) = ( a_{1} + a_{2} ).x^3 + ( b_{1} + b_{2} ).x^2 + ( c_{1} + c_{2} ).x + ( d_{1} + d_{2} )[/tex3] .

Devemos então, conferir se a soma dos coeficientes é igual a zero ( Por quê? ). Vem;

[tex3]( a_{1} + a_{2} ) + ( b_{1} + b_{2} ) + ( c_{1} + c_{2} ) + ( d_{1} + d_{2} ) = [/tex3] .

[tex3]( a_{1} + b_{1} + c_{1} + d_{1} ) + ( a_{2}+ b_{2} + c_{2} + d_{2} )[/tex3] .

E claramente, essas duas somas são iguais a zero , ou seja;

[tex3]( a_{1} + b_{1} + c_{1} + d_{1} ) + ( a_{2}+ b_{2} + c_{2} + d_{2} ) = 0 + 0 = 0.[/tex3]

Perceba que continuamos com um polinômio na forma dada pelo enunciado , logo , a primeira condição é válida!


Vamos verificar agora a segunda condição, pegando um vetor qualquer do conjunto em questão

[tex3]P_{1}( x ) = a_{1}x^3 + b_{1}x^2 + c_{1}x + d_{1} \ \ ; \ \ a_{1} + b_{1} + c_{1} + d_{1} = 0 [/tex3] e um escalar também qualquer : [tex3]\lambda [/tex3] .

Então,

[tex3]\lambda .P_{1}( x ) = \lambda .( a_{1}x^3 + b_{1}x^2 + c_{1}x + d_{1} ) = \lambda .a_{1}x^3 + \lambda .b_{1}x^2 + \lambda .c_{1}x + \lambda .d_{1} [/tex3] .

Procedendo da mesma maneira como feito acima, devemos conferir se a soma dos coeficientes é igual a zero( Por quê? ) Ou seja;

[tex3]\lambda .a_{1} + \lambda .b_{1} + \lambda .c_{1} + \lambda .d_{1} = \lambda .( a_{1} + b_{1} + c_{1} + d_{1} ) [/tex3] .

E claramente já sabemos que essa soma é igual a zero ( 0 ) , logo :

[tex3]\lambda ( 0 ) [/tex3] = 0.

Dessa forma o polinômio continua da maneira que queríamos, ou seja , a segunda condição também é válida. Concluímos então que esses polinômios são um subespaço vetorial de P [tex3]_{3}(\mathbb{R})[/tex3] .

Portanto, o conjunto { ax³ + bx² + cx + d ; a + b + c + d = 0 } é um subespaço vetorial de P [tex3]_{3}(\mathbb{R})[/tex3] . C.q.v.




Nota

Os axiomas que são herdados por W são :

Axioma 1 – Fechamento na adição

Axioma 4 – Existência de vetor zero em W

Axioma 5 – Existência de negativo em W para cada vetor em W

Axioma 6 – Fechamento na multiplicação por escalar

de modo que esses devem ser verificados para provar que W é um subespaço de V. Contudo, segue do teorema acima( postado no início da resolução deste problema ) que se os Axiomas 1 e 6 valerem em W, então os Axiomas 4 e 5 valem em W como uma consequência e, portanto, não precisam ser verificados.



Excelente estudo!




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thetruth
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Mai 2021 18 13:35

Re: subespaço com polinomios

Mensagem não lida por thetruth »

Cardoso1979 escreveu:
Ter 18 Mai, 2021 12:24
Observe

Uma verificação:

Devemos verificar as duas condições no teorema.

TEOREMA:

Se W for um conjunto de um ou mais vetores num espaço vetorial V, então W é um subespaço de V se, e só se, as condições seguintes forem válidas.

(a) Se u e v forem vetores em W, então u + v está em W.

(b) Se a for um escalar qualquer e u algum vetor de W, então au está em W.


Verificação da primeira condição, vamos tomar dois polinômios quaisquer do conjunto dado, temos:

[tex3]P_{1}( x ) = a_{1}x^3 + b_{1}x^2 + c_{1}x + d_{1} \ \ ; \ \ a_{1} + b_{1} + c_{1} + d_{1} = 0 [/tex3]

e

[tex3]P_{2}( x ) = a_{2}x^3 + b_{2}x^2 + c_{2}x + d_{2} \ \ ; \ \ a_{2} + b_{2} + c_{2} + d_{2} = 0 [/tex3] .


[tex3]P_{1}( x ) + P_{2}( x ) : [/tex3]

[tex3]P_{1}( x ) + P_{2}( x ) = ( a_{1}x^3 + b_{1}x^2 + c_{1}x + d_{1} ) + ( a_{2}x^3 + b_{2}x^2 + c_{2}x + d_{2} )[/tex3]

Agrupando os termos semelhantes, fica;

[tex3]P_{1}( x ) + P_{2}( x ) = ( a_{1} + a_{2} ).x^3 + ( b_{1} + b_{2} ).x^2 + ( c_{1} + c_{2} ).x + ( d_{1} + d_{2} )[/tex3] .

Devemos então, conferir se a soma dos coeficientes é igual a zero ( Por quê? ). Vem;

[tex3]( a_{1} + a_{2} ) + ( b_{1} + b_{2} ) + ( c_{1} + c_{2} ) + ( d_{1} + d_{2} ) = [/tex3] .

[tex3]( a_{1} + b_{1} + c_{1} + d_{1} ) + ( a_{2}+ b_{2} + c_{2} + d_{2} )[/tex3] .

E claramente, essas duas somas são iguais a zero , ou seja;

[tex3]( a_{1} + b_{1} + c_{1} + d_{1} ) + ( a_{2}+ b_{2} + c_{2} + d_{2} ) = 0 + 0 = 0.[/tex3]

Perceba que continuamos com um polinômio na forma dada pelo enunciado , logo , a primeira condição é válida!


Vamos verificar agora a segunda condição, pegando um vetor qualquer do conjunto em questão

[tex3]P_{1}( x ) = a_{1}x^3 + b_{1}x^2 + c_{1}x + d_{1} \ \ ; \ \ a_{1} + b_{1} + c_{1} + d_{1} = 0 [/tex3] e um escalar também qualquer : [tex3]\lambda [/tex3] .

Então,

[tex3]\lambda .P_{1}( x ) = \lambda .( a_{1}x^3 + b_{1}x^2 + c_{1}x + d_{1} ) = \lambda .a_{1}x^3 + \lambda .b_{1}x^2 + \lambda .c_{1}x + \lambda .d_{1} [/tex3] .

Procedendo da mesma maneira como feito acima, devemos conferir se a soma dos coeficientes é igual a zero( Por quê? ) Ou seja;

[tex3]\lambda .a_{1} + \lambda .b_{1} + \lambda .c_{1} + \lambda .d_{1} = \lambda .( a_{1} + b_{1} + c_{1} + d_{1} ) [/tex3] .

E claramente já sabemos que essa soma é igual a zero ( 0 ) , logo :

[tex3]\lambda ( 0 ) [/tex3] = 0.

Dessa forma o polinômio continua da maneira que queríamos, ou seja , a segunda condição também é válida. Concluímos então que esses polinômios são um subespaço vetorial de P [tex3]_{3}(\mathbb{R})[/tex3] .

Portanto, o conjunto { ax³ + bx² + cx + d ; a + b + c + d = 0 } é um subespaço vetorial de P [tex3]_{3}(\mathbb{R})[/tex3] . C.q.v.




Nota

Os axiomas que são herdados por W são :

Axioma 1 – Fechamento na adição

Axioma 4 – Existência de vetor zero em W

Axioma 5 – Existência de negativo em W para cada vetor em W

Axioma 6 – Fechamento na multiplicação por escalar

de modo que esses devem ser verificados para provar que W é um subespaço de V. Contudo, segue do teorema acima( postado no início da resolução deste problema ) que se os Axiomas 1 e 6 valerem em W, então os Axiomas 4 e 5 valem em W como uma consequência e, portanto, não precisam ser verificados.



Excelente estudo!
muito obrigado!!! já sei como resolver uma questão semelhante agora. vlww



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Cardoso1979
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Mai 2021 18 18:02

Re: subespaço com polinomios

Mensagem não lida por Cardoso1979 »

Cardoso1979 escreveu:
Ter 18 Mai, 2021 12:24
muito obrigado!!! já sei como resolver uma questão semelhante agora. vlww
Disponha 👍 Excelente 👏👏👏👏




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