Ensino Superior ⇒ Algelin 1 - Sistemas Tópico resolvido

[kimpetras]

Usando operações elementares sobre as linhas da matriz aumentada de cada um dos sistemas lineares abaixo, determine os valores de a e b para os quais sistema não tem solução, tem exatamente uma
solução e tem infinitas soluções.


x + y − az = 0
x + 2y − 2z = 1
x + (1 − a)y − 2z = 2 − 2a
2x + 3y − (2 + a)z = 1

Resposta

---

(i) Tem uma única solução quando a= 2 e a= −1; não tem soluções quando a = −1; tem
infinitas soluções quando a = 2.

Entendi que o enunciado pede para usar as operacoes lineares, mas depois é para igualar o que com o que para achar as restricoes? estou com duvida

[Cardoso1979]

Observe

Solução:

[tex3]\begin{cases}
x + y - az = 0 \\
x + 2y - 2z = 1 \\
x + ( 1 - a )y - 2z = 2 - 2a \\
2x + 3y - ( 2 + a )z = 1
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}
x + y - az = 0 \\
x + 2y - 2z = 1 \\
x + ( 1 - a )y - 2z = 2 - 2a \\
2x + 3y - ( 2 + a )z = 1
\end{cases}[/tex3]

Para determinarmos uma condição para um sistema, devemos escrevê-lo como uma matriz ampliada a fim de encontrar uma relação que envolva esse parâmetro.

No caso , a matriz ampliada é:

[tex3]\begin{pmatrix}
1 & 1 & - a & 0 \\
1 & 2 & - 2 & 1 \\
1 & 1-a & - 2 & 2 - 2a\\
2 & 3 & - 2 - a & 1 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{pmatrix}
1 & 1 & - a & 0 \\
1 & 2 & - 2 & 1 \\
1 & 1-a & - 2 & 2 - 2a\\
2 & 3 & - 2 - a & 1 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Usando então as operações elementares mencionada no enunciado, obtemos a matriz

[tex3]\begin{pmatrix}
1 & 1 & - a & 0 \\
0 & 1 & - 2 + a & 1 \\
0 & 0 & a^2 - a - 2 & 2 - a\\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{pmatrix}
1 & 1 & - a & 0 \\
0 & 1 & - 2 + a & 1 \\
0 & 0 & a^2 - a - 2 & 2 - a\\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Obs 1 - A equação que corresponde à última linha da matriz aumentada é 0x + 0y + 0z = 0 , essa equação pode ser omitida , porque não impõe restrições sobre x , y , z e o parâmetro a.

Perceba que conseguimos isolar o parâmetro a na penúltima linha. Agora , vamos testar as condições para que o sistema tenha uma , nenhuma ou infinitas soluções.

Testaremos o valor de a para zerar o lado esquerdo da equação ( a² - a - 2 ).z = 2 - a.

Assim, temos os valores a = - 1 e a = 2.

• Se a = 2 , temos que 0 = 0 . Portanto , o sistema possui infinitas soluções ;

• Se a = - 1 e a ≠ 2 , temos que 0 = 3. Portanto , o sistema não possui nenhuma solução ;

• Se a ≠ - 1 e a ≠ 2 , o sistema possui apenas uma solução.



Obs.2
Para que um sistema seja impossível, após o escalonamento , ele deve possuir uma linha de tal forma 0x + 0y + 0z = C , onde C ≠ 0.

Para reforçar:

Obs.3
Quando, durante o escalonamento, encontramos duas equações incompatíveis entre si ou uma sentença falsa, já podemos concluir que se trata de um sistema impossível.


Detalhes adicionais:

Sistema possível ( tem soluções ) :

• determinado ( a solução é única )
• indeterminado ( tem infinitas soluções )

Sistema impossível ( não apresenta nenhuma solução ).



Excelente estudo!

[Cardoso1979]

Se a = - 1 e a ≠ 2 , temos que 0 = 3. Portanto , o sistema não possui nenhuma solução ;

O correto é:

• Se a = - 1 , temos que 0 = 3. Portanto , o sistema não possui nenhum solução.


Excelente estudo!