Ensino Superior

Achar a projeção ortogonal do ponto A = (3, 1, 3) sobre o plano a : x + y + z – 4 = 0.

Resposta

N = (2, 0, 2)

Observe

Uma solução:

Vamos determinar a projeção N = ( x , y , z ) de A sobre o plano a. Para isso, vamos precisar que o vetor [tex3]\vec{AN}[/tex3] seja paralelo ao vetor normal [tex3]\vec{n}[/tex3] do plano a.

A normal do plano a ( 1.x + 1.y + 1.z - 4 = 0 ) é [tex3]\vec{n}[/tex3] = ( 1 , 1 , 1 ).

Obtendo o vetor [tex3]\vec{AN}[/tex3] :

[tex3]\vec{AN} = N - A = ( x , y , z ) - ( 3 , 1 , 3 ) = ( x - 3 , y - 1 , z - 3 ).[/tex3]

Da equação do plano, vem ;

x = 4 - y - z .

Resulta que;

[tex3]\vec{AN} = ( 1 - y - z \ , \ y - 1 \ , \ z - 3 ).[/tex3]

Como [tex3]\vec{n}[/tex3] tem que ser paralelo à [tex3]\vec{AN}[/tex3] , temos que

[tex3]\vec{AN} = \gamma .\vec{n}[/tex3] →

( 1 - y - z , y - 1 , z - 3 ) = [tex3]\gamma [/tex3] .( 1 , 1 , 1 ).

Logo,

[tex3]\begin{cases}
1-y-z= \gamma \\
y - 1 = \gamma \\
z - 3 = \gamma
\end{cases}[/tex3]

Do sistema acima , tiramos que

y = [tex3]\gamma +1[/tex3] e z = [tex3]\gamma + 3[/tex3]

substituindo esses valores na primeira equação, obtemos

[tex3]\gamma [/tex3] = - 1

Então, encontramos que

x = 2 ; y = 0 e z = 2.

Portanto , N = ( 2 , 0 , 2 ).

Excelente estudo!

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