Ensino Superior ⇒ Testes de Hipóteses Tópico resolvido

[medici]

Suponha que se deseje estimar a proporção p de indivíduos com certa moléstia em uma dada região. Selecionou-se uma amostra aleatória de 100 pessoas e constatou-se que 25 eram portadoras da moléstia.

a. Construa um intervalo de confiança para p com coeficiente de confiança [tex3]\gamma [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\gamma [/tex3]

= 0,95. Qual o comprimento do intervalo?

Resposta

---

a.[0,201;0,299] com comprimento de 0,098

[Cardoso1979]

a.[0,201;0,299] com comprimento de 0,098

esse gabarito está errado!! Errou o intervalo, obviamente o comprimento também estará errado, pois o mesmo depende do intervalo,...se eu encontrar um tempinho eu volto aqui para resolver.

[Cardoso1979]

Observe

Solução:

Para efeito de cálculo, primeiramente, iremos obter a estimativa pontual da proporção p.( Neste caso , queremos calcular a proporção observada de portadores da moléstia ).

Como na seleção da amostra aleatória de 100 pessoas foi constatado que 25 eram portadoras da moléstia, temos que:

[tex3]\hat p = \frac{25}{100} = 0,25.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\hat p = \frac{25}{100} = 0,25.[/tex3]

Então, vamos a resposta.

Se [tex3]\gamma = 0,95[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\gamma = 0,95[/tex3]

, então [tex3]Z_{0,4750}= 1,96[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]Z_{0,4750}= 1,96[/tex3]

( já expliquei como chegar nesse resultado em dois exercícios seu )

Assim,

[tex3]IC[ p , 95\% ]= \left[ \hat p - Z_{\frac{\gamma }{2}}×\sqrt{\frac{\hat p×(1- \hat p )}{n}} \ ; \
\hat p + Z_{\frac{\gamma }{2}}×\sqrt{\frac{\hat p×(1- \hat p )}{n}}\right] [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]IC[ p , 95\% ]= \left[ \hat p - Z_{\frac{\gamma }{2}}×\sqrt{\frac{\hat p×(1- \hat p )}{n}} \ ; \
\hat p + Z_{\frac{\gamma }{2}}×\sqrt{\frac{\hat p×(1- \hat p )}{n}}\right] [/tex3]

[tex3]IC[ p , 95\% ]= \left[ 0,25 - 1,96×\sqrt{\frac{ 0,25×0,75}{100}} \ ; \ 0,25 + 1,96×\sqrt{\frac{0,25×0,75}{100}}\right] [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]IC[ p , 95\% ]= \left[ 0,25 - 1,96×\sqrt{\frac{ 0,25×0,75}{100}} \ ; \ 0,25 + 1,96×\sqrt{\frac{0,25×0,75}{100}}\right] [/tex3]

Desenvolvendo, obtemos

IC[ p , 95% ] = [ 0,165 ; 0,335 ]

e o comprimento do intervalo, que neste caso é o intervalo otimista , é :

C = 0,335 - 0,165 = 0,170.

Logo,

C = 0,170( Otimista )



Podemos também construir um intervalo conservador, vem;

[tex3]IC[ p , 95\% ]= \left[ \hat p - Z_{\frac{\gamma }{2}}×\sqrt{\frac{1}{4n}} \ ; \ \hat p + Z_{\frac{\gamma }{2}}×\sqrt{\frac{1}{4n}}\right] [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]IC[ p , 95\% ]= \left[ \hat p - Z_{\frac{\gamma }{2}}×\sqrt{\frac{1}{4n}} \ ; \ \hat p + Z_{\frac{\gamma }{2}}×\sqrt{\frac{1}{4n}}\right] [/tex3]

[tex3]IC[ p , 95\% ]= \left[ 0,25 - 1,96×\sqrt{\frac{1}{400}} \ ; \ 0,25 + 1,96×\sqrt{\frac{1}{400}}\right] [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]IC[ p , 95\% ]= \left[ 0,25 - 1,96×\sqrt{\frac{1}{400}} \ ; \ 0,25 + 1,96×\sqrt{\frac{1}{400}}\right] [/tex3]

IC[ p , 95% ] = [ 0,152 ; 0,348 ].

E neste caso, o comprimento do intervalo é:

C = 0,348 - 0,152 = 0,196.

Logo,

C = 0,196 ( Conservativo ).



Excelente estudo!

[Cardoso1979]

A resposta final ficaria assim:

IC[ p , 95% ] = [ 0,152 ; 0,348 ] com comprimento 0,196( conservativo ) ou IC[ p , 95% ] = [ 0,165 ; 0,335 ] com comprimento 0,170( otimista ).