Ensino SuperiorTeorema de green

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Rrammonn
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Teorema de green

Mensagem não lida por Rrammonn »

Olá alguem poderia me ajudar com a questão abaixo:

Utilize o teorema de Green para calcular (0,5 pontos)
11-20-2020 7-12-22 PM.png
11-20-2020 7-12-22 PM.png (4.84 KiB) Exibido 62 vezes
ao longo do retângulo de vértices (0,0), (3,0), (3,2), (0,2) no sentido anti-horário.




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Cardoso1979
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Nov 2020 21 18:20

Re: Teorema de green

Mensagem não lida por Cardoso1979 »

Observe

Solução:

[tex3]\oint_C F \ dR= \oint_C Mdx \ + \ Ndy=\int\limits_{}^{}\int\limits_{R}^{}\frac{\partial N}{\partial x}dA \ - \ \int\limits_{}^{}\int\limits_{R}^{}\frac{\partial M}{\partial y}dA = \int\limits_{}^{}\int\limits_{R}^{}\left[\frac{\partial N}{\partial x} \ - \ \frac{\partial M}{\partial y}\right]dA[/tex3]

Ou seja,

[tex3] \oint_C Mdx \ + \ Ndy = \int\limits_{}^{}\int\limits_{R}^{}\left[\frac{\partial N}{\partial x} \ - \ \frac{\partial M}{\partial y}\right]dA[/tex3]

Onde , M = y² + √( 4 - x² ) e N = ln(y) - 4x. Daí,

[tex3]\frac{\partial N}{\partial x} = [ln(y)-4x]'[/tex3]

[tex3]\frac{\partial N}{\partial x} = 0-4.1[/tex3]

[tex3]\frac{\partial N}{\partial x} = -4[/tex3]

e

[tex3]\frac{\partial M}{\partial y} = [y^2-√(4-x^2)]'[/tex3]

[tex3]\frac{\partial M}{\partial y} = 2y+0[/tex3]

[tex3]\frac{\partial M}{\partial y} = 2y[/tex3]

A região R é dada por 0 ≤ x ≤ 3 , 0 ≤ y ≤ 2 ( pois trata-se de um retângulo ).

Assim,

[tex3]\int\limits_{0}^{3}\int\limits_{0}^{2}(-4-2y) \ dydx = [/tex3]

[tex3]\int\limits_{0}^{3}[-4y-y^2]_{0}^{2}dx = [/tex3]

[tex3]\int\limits_{0}^{3}(-4.2-2^2+4.0+0^2)dx = [/tex3]

[tex3]\int\limits_{0}^{3}(-8-4)dx = [/tex3]

[tex3]-\int\limits_{0}^{3}12dx = [/tex3]

[tex3]-12[x]_{0}^{3} = - 12(3-0)=-12.3=-36 [/tex3]

Portanto, [tex3]\oint(y^2+\sqrt{4-x^2})dx \ + \ [ln(y)-4x]dy=-36[/tex3]


Nota

A próxima vez , vê se coloca o gabarito!! Pois, caso você ou outro usuário não postar o mesmo, eu colocarei e SEM o desenvolvimento da solução!!!🙅🏼‍♂️



Excelente estudo!




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