Ensino Superior

sejam f e duas funções tais que a imagem de f esteja contida dentro do domínio de g
e [tex3]\lim_{x \rightarrow+ \infty}f(x)=a[/tex3]
prove que se g for contínua em a então [tex3]\lim_{x \rightarrow+ \infty}g(f(x))=\lim_{u \rightarrow a}g(x)[/tex3]

Por definição de limites no infinito, para um dado [tex3]\varepsilon>0[/tex3], existe [tex3]\delta[/tex3], tal que [tex3]x\gt \delta\implies |f(x)-a|<\varepsilon[/tex3]. Como a imagem de [tex3]f(x)[/tex3] está contida no domínio de [tex3]g(x)[/tex3] , então, para todo valor de [tex3]x[/tex3] , existe um certo [tex3]u\in D(g)[/tex3] , tal que [tex3]f(x)=u[/tex3]. Vamos agora estudar o seguinte limite:
[tex3]\lim_{u\rightarrow a}g(u)=L[/tex3]
Sabemos que esse limite existe, dado que [tex3]g(x)[/tex3] é contínua. Portanto, pela definição, dado [tex3]\varepsilon'>0[/tex3] , existe [tex3]\delta'>0[/tex3], tal que [tex3]|u-a|<\delta'\implies |g(u)-L|<\varepsilon'[/tex3]. Como [tex3]u=f(x)[/tex3] , podemos tomar [tex3]\delta'=\varepsilon[/tex3]. Assim, teremos a seguinte sequência de implicações:
[tex3]x>\delta\implies |f(x)-a|<\varepsilon\equiv |u-a|<\delta'\implies |g(u)-L|<\varepsilon'[/tex3]
Assim, podemos dizer que:
[tex3]x>\delta\implies |g(u)-L|<\varepsilon'[/tex3]
[tex3]x>\delta\implies |g(f(x))-L|<\varepsilon'[/tex3]
Ou seja, [tex3]\lim_{x \rightarrow \infty}g(f(x))=L=\lim_{u \rightarrow a}g(u)[/tex3]

Ensino Superior ⇒ limites no infinito Tópico resolvido

limites no infinito

Re: limites no infinito

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