Ensino Superior ⇒ Matrizes (Geometria Analítica e Vetores) Tópico resolvido
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Gwynbleidd 
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Fev 2020
20
16:39
Matrizes (Geometria Analítica e Vetores)
Os únicos números reais cujos quadrados são eles próprios são 0 e 1. Ache todas as matrizes quadradas A, 2x2, tais que [tex3]A^2=A[/tex3]
“Evil is evil. Lesser, greater, middling… makes no difference. The degree is arbitrary. The definition’s blurred. If I’m to choose between one evil and another, I’d rather not choose at all."
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Cardoso1979 
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Mai 2020
19
17:36
Re: Matrizes (Geometria Analítica e Vetores)
Observe
Solução:
Seja [tex3]A=\begin{pmatrix}
x & y \\
z & w \\
\end{pmatrix}[/tex3] como A² = A , então,
[tex3]\begin{pmatrix}
x^2+yz & wy+xy \\
wz+xz & w^2+yz \\
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
x & y \\
z & w \\
\end{pmatrix}[/tex3]
Dessa igualdade de matrizes, obtemos:
x² + yz = x → [tex3]z=\frac{x-x^2}{y}[/tex3] ;
wz + xz = z → w = 1 - x .
Então, dos dados acima e do enunciado, você irá obter as seguintes matrizes quadradas A:
[tex3]A_{1}=\begin{pmatrix}
x & y \\
\frac{x-x^2}{y} & 1-x \\
\end{pmatrix} , ∀x,y\in \mathbb{R}[/tex3] ;
[tex3]A_{2}=\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
z & 1 \\
\end{pmatrix} , ∀z\in \mathbb{R}[/tex3] ;
[tex3]A_{3}=\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
z & 0 \\
\end{pmatrix} , ∀z\in \mathbb{R}[/tex3] ;
[tex3]A_{4}=\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 0 \\
\end{pmatrix} [/tex3] ;
[tex3]A_{5}=\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{pmatrix} [/tex3] ;
[tex3]A_{6}=\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 0 \\
\end{pmatrix} [/tex3] ;
[tex3]A_{7}=\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{pmatrix} [/tex3] .
Pronto! Agora é com você, caneta no papel
Bons estudos!
Solução:
Seja [tex3]A=\begin{pmatrix}
x & y \\
z & w \\
\end{pmatrix}[/tex3] como A² = A , então,
[tex3]\begin{pmatrix}
x^2+yz & wy+xy \\
wz+xz & w^2+yz \\
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
x & y \\
z & w \\
\end{pmatrix}[/tex3]
Dessa igualdade de matrizes, obtemos:
x² + yz = x → [tex3]z=\frac{x-x^2}{y}[/tex3] ;
wz + xz = z → w = 1 - x .
Então, dos dados acima e do enunciado, você irá obter as seguintes matrizes quadradas A:
[tex3]A_{1}=\begin{pmatrix}
x & y \\
\frac{x-x^2}{y} & 1-x \\
\end{pmatrix} , ∀x,y\in \mathbb{R}[/tex3] ;
[tex3]A_{2}=\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
z & 1 \\
\end{pmatrix} , ∀z\in \mathbb{R}[/tex3] ;
[tex3]A_{3}=\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
z & 0 \\
\end{pmatrix} , ∀z\in \mathbb{R}[/tex3] ;
[tex3]A_{4}=\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 0 \\
\end{pmatrix} [/tex3] ;
[tex3]A_{5}=\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{pmatrix} [/tex3] ;
[tex3]A_{6}=\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 0 \\
\end{pmatrix} [/tex3] ;
[tex3]A_{7}=\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{pmatrix} [/tex3] .
Pronto! Agora é com você, caneta no papel
Bons estudos!
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