Ensino SuperiorGeometria Analítica no Espaço: Equação do Plano

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eduardo200
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Mai 2008 26 09:34

Geometria Analítica no Espaço: Equação do Plano

Mensagem não lida por eduardo200 »

Determine a equação geral do plano dado o ponto A(3,-2,-1) e r:\,  \left\{x + 2y + z -1 =0\\ 2x + y - z + 7 =0.


Acho que as duas retas são concorrentes, encontro o vetor normal mas não passo disso.
Gostaria de receber uma ajuda neste caso,
Agradeço desde já.

Última edição: eduardo200 (Seg 26 Mai, 2008 09:34). Total de 1 vez.



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Cardoso1979
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Jan 2020 16 17:33

Re: Geometria Analítica no Espaço: Equação do Plano

Mensagem não lida por Cardoso1979 »

Observe

Uma solução:

Ora, como ele fornece um ponto e uma reta, e o mesmo está pedindo para determinar a equação geral do plano, é porque ambos estão contidos no plano a ser determinado, então , primeiramente iremos determinar a equação paramétrica da reta r. Temos:

[tex3]\begin{cases}
(1,2,1) ⊥ r \\
\\
(2,1,-1)⊥r
\end{cases}[/tex3]

Então,

[tex3](1,2,1)×(2,1,-1)=(-3,3,-3)=\vec{v}∥r[/tex3]

Tomando y = 0 nas equações que definem r, obtemos B = ( x , 0 , z ) ∈ r se , e só se,

[tex3]\begin{cases}
x+z=1 →z=3\\
2x-z=-7
\end{cases}[/tex3]
----------------------------------
3x = - 6 → x = - 2

Logo, B = ( - 2 , 0 , 3 ).


Assim, a equação paramétrica de r é:

[tex3]r:\begin{cases}
x=-2-3t \\
y=3t \ ; \ t\in \mathbb{R}\\
z=3-3t
\end{cases}[/tex3]

Por outro lado, temos [tex3]\vec{v}=(-3,3,-3)∥π \ e \ \vec{BA}=(5,-2,-4)∥π,pois \ \vec{v}∥r, r\subset π \ e \ A,B\in \pi
[/tex3] . Daí;

[tex3]\vec{v}×\vec{BA}=(2,3,1)⊥π.[/tex3]


Como B = ( - 2 , 0 , 3 ) ∈ π, vem;

ax + by + cz + d = 0

2.( - 2 ) + 3.0 + 1.3 + d = 0

- 4 + 3 + d = 0

d = 1


Portanto, o plano encontrado com as condições dadas na questão é π : 2x + 3y + z + 1 = 0.


Obs.

[tex3]\vec{v}×\vec{BA}=\left[ \begin{array}{rrcccrr}
\vec{i} &&& \vec{j} && \vec{k} \\
-3 &&& 3 && -3\\
5 &&& -2 && -4
\end{array} \right]=(-18,-27,-9)=-9.(2,3,1)[/tex3]



Bons estudos!




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Cardoso1979
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Re: Geometria Analítica no Espaço: Equação do Plano

Mensagem não lida por Cardoso1979 »

Uma outra solução ( bem mais simples ):

O feixe de planos por r é dado por

[tex3]\alpha .(x+2y+z-1)+\beta .(2x+y-z+7)=0[/tex3]

Impondo que A pertença a esse plano genérico do feixe, vem;

[tex3]\alpha .(3-4-1-1)+\beta .(6-2+1+7)=0[/tex3]

Logo, [tex3]-3\alpha +12\beta =0 [/tex3] , donde [tex3]\alpha =4\beta \ (\therefore \alpha ≠0 \ e \ \beta ≠0)[/tex3] . Substituindo na equação do feixe, temos que:

[tex3]4\beta .(x+2y+z-1)+\beta .(2x+y-z+7)=0[/tex3] ou [tex3]\beta .(6x+9y+3z+3)=0.[/tex3] Como [tex3]\beta ≠0[/tex3] , 6x + 9y + 3z + 3 = 0, ou ainda , 2x + 3y + z + 1 = 0 é uma equação do plano procurado.


Quanta diferença , simples demais!


Bons estudos!




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