Ensino Superior ⇒ Teorema das Diagonais Tópico resolvido

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Usando o Teorema das Diagonais calcule a seguinte soma. Justifique:

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[rodBR]

Solução:
Veja que: [tex3]CR^k_{98}=C_{98+k-1,k}=\binom{98+k-1}{k}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]CR^k_{98}=C_{98+k-1,k}=\binom{98+k-1}{k}[/tex3]

Vamos desenvolver [tex3]S[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]S[/tex3]

:
[tex3]S=\sum^{30}_{k=8}CR_{98,k}\\
S=\binom{105}{8}+\binom{106}{9}+\binom{107}{10}+\ ... \ +\binom{127}{30}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]S=\sum^{30}_{k=8}CR_{98,k}\\
S=\binom{105}{8}+\binom{106}{9}+\binom{107}{10}+\ ... \ +\binom{127}{30}[/tex3]

Usando o Teorema das Diagonais, segue que:
[tex3]\sum^{30}_{k=8}CR_{98,k}=\binom{128}{30}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sum^{30}_{k=8}CR_{98,k}=\binom{128}{30}[/tex3]

Você ainda pode usar o complementar desse binomial e ficar com o binomial equivalente [tex3]\binom{128}{98}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\binom{128}{98}[/tex3]

.




att>> rodBR

[Kcijes]

No final da progressão deu [tex3]\begin{pmatrix}
127\\
30\\
\end{pmatrix}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{pmatrix}
127\\
30\\
\end{pmatrix}[/tex3]

mas na conclusão colocaste 128. Pq somastes mais 1?

[rodBR]

Isso é justamente a aplicação do teorema das Diagonais.

[Kcijes]

Ah sim, comprendi, olhando o triângulo de Pascal o resultado está sempre na próxima coluna e na mesma . Correto?

[rodBR]

No triângulo de Pascal os problemas em que VC tá somando elementos (binomiais) de uma diagonal o teorema das diagonais diz que o resultado dessa soma é equivalente a vc descer uma linha com relação ao último binomial e permanecer na mesma coluna.

Para esclarecer melhor Veja o vídeo do professor Josimar do portal da matemática: https://youtu.be/_--qjKol_Ks