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Mensagem não lidapor **daloni** » Dom 25 Ago, 2019 22:24 · Mensagem não lida por **daloni** » Dom 25 Ago, 2019 22:24

Boa noite,

Solicito ajuda para resolver uma questão do livro do Guidorizzi:

Prove, pela definição, que a função dada é contínua no ponto dado.

f(x)= [tex3]\sqrt{x}[/tex3] em p=4.

Eu fiz assim:

Pretendemos provar que para todo [tex3]\epsilon [/tex3] >0 exixte [tex3]\delta [/tex3] > 0 ([tex3]\delta [/tex3] dependendo de [tex3]\epsilon [/tex3] ) tal que, se p - [tex3]\delta [/tex3] < x < p + [tex3]\delta [/tex3] , então f(p) - [tex3]\epsilon [/tex3] < f(x) < f(p) + [tex3]\epsilon [/tex3] para todo x [tex3]\in [/tex3] Df.

Se p=4 f(x)=[tex3]\sqrt{4}[/tex3] = 2

Penso que x tem que ser maior ou igual a zer, mas não consigo ir adiante.

Por favor, se alguém puder ajudar... agradeço.

Observe

Solução:

Usando a definição de derivada, temos que

[tex3]f'(p)=\lim_{x \rightarrow \ p}\frac{f(x)-f(p)}{x-p}[/tex3]

Então,

[tex3]f'(4)=\lim_{x \rightarrow \ 4}\frac{\sqrt{x}-f(4)}{x-4}[/tex3]

[tex3]f'(4)=\lim_{x \rightarrow \ 4}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{4}}{x-4}[/tex3]

[tex3]f'(4)=\lim_{x \rightarrow \ 4}\frac{\sqrt{x}-2}{x-4}[/tex3]

[tex3]f'(4)=\lim_{x \rightarrow \ 4}\frac{(\sqrt{x}-2).(\sqrt{x}+2)}{(x-4).(\sqrt{x}+2)}[/tex3]

[tex3]f'(4)=\lim_{x \rightarrow \ 4}\frac{\sqrt{x^2}-2^2}{(x-4).(\sqrt{x}+2)}[/tex3]

[tex3]f'(4)=\lim_{x \rightarrow \ 4}\frac{\cancel{x-4}}{\cancel{(x-4)}.(\sqrt{x}+2)}[/tex3]

[tex3]f'(4)=\lim_{x \rightarrow \ 4}\frac{1}{\sqrt{x}+2}[/tex3]

[tex3]f'(4)=\frac{1}{\sqrt{4}+2}[/tex3]

[tex3]f'(4)=\frac{1}{2+2}[/tex3]

[tex3]f'(4)=\frac{1}{4}[/tex3]

O que prova pela definição que a função f( x ) = √x é derivável em p = 4 , logo f( x ) = √x é contínua em p = 4. C.q.p.

Nota

Teorema:

Se f for derivável em p , então f será contínua em p.

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Cálculo I

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