Ensino Superior ⇒ volume - integral Tópico resolvido

[Felipe22]

(uerj) Ache o volume gerado pela rotação em torno do eixo y = 2 da área limitada por y =x^2 x =0 x = 1 e y = 2.

obs: exercício passado em sala de aula e não tenho o gabarito.

[Cardoso1979]

Observe

Solução:

Esboço da região a ser rotacionada

15665176725664660522457772979588.jpg (15.93 KiB) Exibido 291 vezes

Assim, o volume é dado por:

[tex3]V=π.\int\limits_{a}^{b}[f(x)-L]^2dx[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]V=π.\int\limits_{a}^{b}[f(x)-L]^2dx[/tex3]

Onde;

[tex3]\begin{cases}
a=0 \\
b=1 \\
y=f(x)=x^2 \\
L=y=2
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}
a=0 \\
b=1 \\
y=f(x)=x^2 \\
L=y=2
\end{cases}[/tex3]

Então,

[tex3]V=π.\int\limits_{0}^{1}(x^2-2)^2dx[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]V=π.\int\limits_{0}^{1}(x^2-2)^2dx[/tex3]

[tex3]V=π.\int\limits_{0}^{1}(x^4-4x^2+4)dx[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]V=π.\int\limits_{0}^{1}(x^4-4x^2+4)dx[/tex3]

[tex3]V=π.[\frac{x^5}{5}-\frac{4x^3}{3}+4x]_{0}^{1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]V=π.[\frac{x^5}{5}-\frac{4x^3}{3}+4x]_{0}^{1}[/tex3]

[tex3]V=π.[\frac{1^5}{5}-\frac{4.1^3}{3}+4.1-\frac{0^5}{5}+\frac{4.0^3}{3}-4.0][/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]V=π.[\frac{1^5}{5}-\frac{4.1^3}{3}+4.1-\frac{0^5}{5}+\frac{4.0^3}{3}-4.0][/tex3]

Obs. Não tenho o costume de substituir o limite de integração quando ele é igual a zero ( 0 ) e o resultado da integral tem a variável "x" , pois , como sabemos o resultado sempre será zero( 0 ), como visto acima!

[tex3]V=π.[\frac{1}{5}-\frac{4}{3}+4-0][/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]V=π.[\frac{1}{5}-\frac{4}{3}+4-0][/tex3]

[tex3]V=π.\left(\frac{3-20+60}{15}\right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]V=π.\left(\frac{3-20+60}{15}\right)[/tex3]

Portanto,

[tex3]V=\frac{43π}{15} \ u.v.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]V=\frac{43π}{15} \ u.v.[/tex3]

Detalhes adicionais

Você poderia usar também a seguinte situação para calcular o volume em questão, veja abaixo:

[tex3]V=π.\int\limits_{a}^{b}[L-f(x)]^2dx[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]V=π.\int\limits_{a}^{b}[L-f(x)]^2dx[/tex3]

A resposta será a mesma


Bons estudos!

[Felipe22]

Obrigado mais uma vez!

[Cardoso1979]

Obrigado mais uma vez!

Disponha