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menelaus · Mensagem não lida por **menelaus** » 18 Jun 2019, 03:03

Determine a equação de um plano que seja paralelo ao plano [tex3]z=2x+3y[/tex3] e tangente ao gráfico da função [tex3]f(x,y)=x^2+xy[/tex3] .

Resposta

[tex3]z = -3 + 2(x-3) + 3(y+4)[/tex3]

Mensagem não lidapor **Cardoso1979** » 18 Jun 2019, 09:03 · 18 Jun 2019, 09:03

Observe

Solução:

A equação do plano tangente a uma curva com duas variáveis é dada por:

[tex3]\frac{\partial f}{\partial x}(x_{o},y_{o})(x-x_{o})+\frac{\partial f}{\partial y}(x_{o},y_{o})(y-y_{o})-(z-z_{o})=0[/tex3]

Então;

[tex3]\frac{\partial f}{\partial x}(x_{o},y_{o})=2x_{o}+y_{o}[/tex3]

e

[tex3]\frac{\partial f}{\partial y}(x_{o},y_{o})=x_{o}[/tex3]

Logo, o vetor normal do plano tangente a curva f( x , y ) = z = x² + xy é dado por:

[tex3]\vec{n}=(2x_{o}+y_{o},x_{o},-1)[/tex3]

Por outro lado, como o plano a ser determinado é paralelo ao plano z = 2x + 3y cujo vetor normal é [tex3]\vec{t}[/tex3] = ( 2 , 3 , - 1 ), temos que:

[tex3]\vec{n}=k\vec{t}[/tex3]

[tex3]\vec{n}=(2x_{o}+y_{o},x_{o},-1)=k(2,3,-1)[/tex3]

[tex3]\vec{n}=(2x_{o}+y_{o},x_{o},-1)=(2k,3k,-k)[/tex3]

Resulta que;

[tex3]\begin{cases}
2x_{o}+y_{o}=2k →y_{o}=-4\\
x_{o}=3k →x_{o}=3\\
-1=-k→k=1
\end{cases}[/tex3]

Substituindo os valores encontrados acima em [tex3]f(x_{o},y_{o})=x_{o}^{2}+x_{o}y_{o}[/tex3] , fica;

f( 3 , - 4 ) = 9 - 12 → f( 3 , - 4 ) = - 3 , ou seja , [tex3]z_{o}[/tex3] = - 3.

Substituindo agora [tex3]x_{o}=3[/tex3] e [tex3]y_{o}=-4[/tex3] em [tex3]\frac{\partial f}{\partial x}(x_{o},y_{o})=2x_{o}+y_{o}[/tex3] e também em [tex3]\frac{\partial f}{\partial y}(x_{o},y_{o})=x_{o}[/tex3] , vem;

[tex3]\frac{\partial f}{\partial x}(x_{o},y_{o})=2x_{o}+y_{o}[/tex3]

[tex3]\frac{\partial f}{\partial x}(3,-4)=6-4[/tex3]

[tex3]\frac{\partial f}{\partial x}(3,-4)=2[/tex3]

e

[tex3]\frac{\partial f}{\partial y}(x_{o},y_{o})=x_{o}[/tex3]

[tex3]\frac{\partial f}{\partial y}(3,-4)=3[/tex3]

Assim, basta substituir esses valores encontrados na primeira equação apresentada no início da resolução, temos:

[tex3]\frac{\partial f}{\partial x}(x_{o},y_{o})(x-x_{o})+\frac{\partial f}{\partial y}(x_{o},y_{o})(y-y_{o})-(z-z_{o})=0[/tex3]

2.( x - 3 ) + 3.( y + 4 ) - ( z + 3 ) = 0

2.( x - 3 ) + 3.( y + 4 ) - z - 3 = 0

Portanto, o plano encontrado é z = - 3 + 2( x - 3 ) + 3( y + 4 ).

Bons estudos!

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