Ensino Superior ⇒ Círculos Ortogonais Tópico resolvido

[geobson]

Considere um quadrilátero ABCD. Prove que , se os círculos circunscritos aos triângulos ABC e ADC forem ortogonais , os círculos circunscritos aos triângulos ABD e CBD também o serão.
sugestão :
transforme os círculos (ABC) e (ADC)em retas ,por inversão de pólo A. Lembre que essas retas são perpendiculares .
mais uma questão do livro morgado vol.2.Grato, desde já, a quem puder me ajudar!

[Auto Excluído (ID:12031)]

Como o enunciado disse as retas são perpendiculares (a inversão preserva ângulos) e elas se encontram no inverso de C (o ponto C').
O inverso do círculo (CBD) é um outro círculo (C'B'D')
pra terminar a questão preciso ver qual a relação deste círculo com essas retas, vai levar um tempinho ,quando eu tiver essa relação eu te posto a resposta.

[geobson]

Obrigado, meu amigo.aguardo ansiosamente.

[Auto Excluído (ID:12031)]

então eu fiz uns teste no geogebra e a relação procurada era a seguinte: quando um dos círculos ortogonais se degenera numa reta frente a inversão (quando o pólo de inversão está no círculo) devemos ter que a reta passa pelo centro do inverso do outro círculo.

De fato olhemos para o círculo (C'B'D') note que a reta B'D' é diâmetro deste círculo pois [tex3]\angle B'C'D'=90[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\angle B'C'D'=90[/tex3]

(por conta do perpendicularismo das retas) logo o círculo (ABD) (inverso da reta B'D') é ortogonal ao (CBD)

A prova de que a reta passa pelo centro do círculo inverso eu fico devendo envolve uma sacada que eu não tive ainda

[Auto Excluído (ID:12031)]

na verdade o fato de passar pelo centro é consequência do último item do tópico de inversão 2:

Como o ângulo entre as curvas é o mesmo, pense: o círculo que é transofrmado em uma reta fará um ângulo de 90 graus com as tangentes nos pontos de contato do outro círculo: como a reta tangente a uma reta é ela própria isso significa que a reta é perpendcular às tangentes nos pontos de contato, logo ela passa pelo centro e encontra o círculo num diâmetro!

[geobson]

Fascinante , meu Caro Amigo ! Obrigado

[geobson]

Considerando o quadrilátero do problema anterior , se a, b,c e d são os comprimentos dos lados , e p e q das diagonais , prove que :

p²q²=a²c² + b²d²

[geobson]

Considerando o quadrilátero do problema anterior , se a, b,c e d são os comprimentos dos lados , e p e q das diagonais , prove que :

p²q²=a²c² + b²d²

[Auto Excluído (ID:12031)]

Sejam [tex3]X[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]X[/tex3]

e [tex3]Y[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]Y[/tex3]

, respectivamente, os centros dos círculos [tex3]ABC[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]ABC[/tex3]

e [tex3]ADC[/tex3]

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[tex3]ADC[/tex3]

note que [tex3]\angle XAY = \angle XCY = 90[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\angle XAY = \angle XCY = 90[/tex3]

porque os círculos são ortogonais.
Então [tex3]\angle AXC + \angle AYC = 360 -90 - 90 = 180[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\angle AXC + \angle AYC = 360 -90 - 90 = 180[/tex3]

como [tex3]\angle ABC = \frac{\angle AXC}2[/tex3]

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[tex3]\angle ABC = \frac{\angle AXC}2[/tex3]

e [tex3]\angle ADC = \frac{\angle AYC}2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\angle ADC = \frac{\angle AYC}2[/tex3]

Então
[tex3]\angle ABC + \angle ADB = 90[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\angle ABC + \angle ADB = 90[/tex3]

acho que dá pra resolver na lei dos cossenos e fazendo conta, mas não acho que essa forma deva ser a mais inteligente. Não sei como usar que os outros círculos são ortogonais pra completar isso

[geobson]

Considerando o quadrilátero do problema anterior , se a, b,c e d são os comprimentos dos lados , e p e q das diagonais , prove que :

p²q²=a²c² + b²d²

...up....alguém , por favor, saberia concluir este problema?