Alguém pode ajudar, resposta é 2 [tex3]\pi [/tex3]
Faça o esboço da região delimitada pela elipse [tex3]\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1[/tex3]
e pelas retas [tex3]y=0[/tex3]
e [tex3]x=0[/tex3]
, onde [tex3]x\ge 0[/tex3]
e [tex3]y\ge 0[/tex3]
e calcule sua área.
Ensino Superior ⇒ área - integral Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Mai 2019
19
19:32
área - integral
Última edição: fribeiro (Seg 20 Mai, 2019 08:43). Total de 2 vezes.
-
Cardoso1979 
- Mensagens: 4008
- Registrado em: Sex 05 Jan, 2018 19:45
- Última visita: 04-04-23
- Localização: Teresina- PI
Mai 2019
19
22:55
Re: área - integral
Olá fribeiro, a equação que você postou não é uma elipse, você se equivocou, está faltando o valor de "b" no denominador, e o expoente de y está elevado a quarta potência, não faz sentido. Ficarei no aguardo da correção da equação.
-
Cardoso1979
- Mensagens: 4008
- Registrado em: Sex 05 Jan, 2018 19:45
- Última visita: 04-04-23
- Localização: Teresina- PI
Mai 2019
20
10:26
Re: área - integral
Observe
Solução:
[tex3]\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1[/tex3]
O primeiro passo é construir o gráfico , temos que:
Para y = 0 ;
x² = 16 → x = ± 4
Para x = 0 ;
y² = 4 → y = ± 2
Isolando y na equação da elipse, temos
[tex3]\frac{y^2}{4}=1-\frac{x^2}{16}[/tex3]
[tex3]\frac{y^2}{4}=\frac{16-x^2}{16}[/tex3]
[tex3]y^2=\frac{4.(16-x^2)}{16}[/tex3]
y = ± [tex3]\sqrt{\frac{16-x^2}{4}}[/tex3]
y = ± [tex3]\frac{1}{2}\sqrt{16-x^2}[/tex3]
Graficamente:
Como x ≥ 0 e y ≥ 0 a área está localizada no primeiro quadrante , então a parte da elipse no primeiro quadrante é dada pela função
y = [tex3]\frac{1}{2}\sqrt{16-x^2}[/tex3] , 0 ≤ x ≤ 4
e , assim ,
[tex3]A=\frac{1}{2}.\int\limits_{0}^{4}\sqrt{16-x^2}dx[/tex3]
Para calcularmos essa integral, substituímos x = 4sen θ . Então, dx = 4cos θ dθ. Para mudarmos os limites de integração, notamos que quando x = 0 , sen θ = 0 ; logo , θ = 0 ; quando x = 4 , sen θ = 1, assim , θ = π/2. Além disso,
√( 16 - x² ) = √( 16 - 16sen² θ ) = √( 16cos² θ ) = 4| cos θ | = 4cos θ já que 0 ≤ θ ≤ π/2. Portanto,
[tex3]A=\frac{1}{2}.\int\limits_{0}^{4}\sqrt{16-x^2}dx[/tex3]
[tex3]A=\frac{1}{2}.\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}4cos(\theta ).4cos(\theta )d\theta [/tex3]
[tex3]A=8.\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}cos^2(\theta )d\theta [/tex3]
[tex3]A=8.\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{1}{2}(1+cos(2\theta ))d\theta [/tex3]
[tex3]A=4.\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}(1+cos(2\theta ))d\theta [/tex3]
[tex3]A=4.[\theta +\frac{1}{2}sen (2\theta )]_{0}^{\frac{\pi }{2}}[/tex3]
[tex3]A=4.\left(\frac{\pi }{2}+0-0\right)[/tex3]
[tex3]A=\frac{4\pi }{2}[/tex3]
A = 2π u.a.
Bons estudos!
Solução:
[tex3]\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1[/tex3]
O primeiro passo é construir o gráfico , temos que:
Para y = 0 ;
x² = 16 → x = ± 4
Para x = 0 ;
y² = 4 → y = ± 2
Isolando y na equação da elipse, temos
[tex3]\frac{y^2}{4}=1-\frac{x^2}{16}[/tex3]
[tex3]\frac{y^2}{4}=\frac{16-x^2}{16}[/tex3]
[tex3]y^2=\frac{4.(16-x^2)}{16}[/tex3]
y = ± [tex3]\sqrt{\frac{16-x^2}{4}}[/tex3]
y = ± [tex3]\frac{1}{2}\sqrt{16-x^2}[/tex3]
Graficamente:
- 15583586982362611164768663951873.jpg (17.29 KiB) Exibido 499 vezes
Como x ≥ 0 e y ≥ 0 a área está localizada no primeiro quadrante , então a parte da elipse no primeiro quadrante é dada pela função
y = [tex3]\frac{1}{2}\sqrt{16-x^2}[/tex3] , 0 ≤ x ≤ 4
e , assim ,
[tex3]A=\frac{1}{2}.\int\limits_{0}^{4}\sqrt{16-x^2}dx[/tex3]
Para calcularmos essa integral, substituímos x = 4sen θ . Então, dx = 4cos θ dθ. Para mudarmos os limites de integração, notamos que quando x = 0 , sen θ = 0 ; logo , θ = 0 ; quando x = 4 , sen θ = 1, assim , θ = π/2. Além disso,
√( 16 - x² ) = √( 16 - 16sen² θ ) = √( 16cos² θ ) = 4| cos θ | = 4cos θ já que 0 ≤ θ ≤ π/2. Portanto,
[tex3]A=\frac{1}{2}.\int\limits_{0}^{4}\sqrt{16-x^2}dx[/tex3]
[tex3]A=\frac{1}{2}.\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}4cos(\theta ).4cos(\theta )d\theta [/tex3]
[tex3]A=8.\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}cos^2(\theta )d\theta [/tex3]
[tex3]A=8.\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{1}{2}(1+cos(2\theta ))d\theta [/tex3]
[tex3]A=4.\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}(1+cos(2\theta ))d\theta [/tex3]
[tex3]A=4.[\theta +\frac{1}{2}sen (2\theta )]_{0}^{\frac{\pi }{2}}[/tex3]
[tex3]A=4.\left(\frac{\pi }{2}+0-0\right)[/tex3]
[tex3]A=\frac{4\pi }{2}[/tex3]
A = 2π u.a.
Bons estudos!
-
- Tópicos Semelhantes
- Respostas
- Exibições
- Última msg
-
- 1 Respostas
- 4821 Exibições
-
Última msg por Carlosft57
-
- 3 Respostas
- 3534 Exibições
-
Última msg por Lliw
-
- 2 Respostas
- 904 Exibições
-
Última msg por Cardoso1979
-
- 1 Respostas
- 796 Exibições
-
Última msg por Cardoso1979
-
- 1 Respostas
- 497 Exibições
-
Última msg por rcompany
