Ensino Superior ⇒ Integral Tópico resolvido

[RinaldoEN19]

Calcule a integral [tex3]\int\limits_{}^{}\frac{3x+2}{1+x^{2}}dx[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{3x+2}{1+x^{2}}dx[/tex3]

.

Resposta

---

[tex3]\frac{1}{4}\ln(1+4x^{2})-\frac{3}{2}\arctan2x +k [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{4}\ln(1+4x^{2})-\frac{3}{2}\arctan2x +k [/tex3]

[Cardoso1979]

Observe

Solução:

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{3x+2}{1+x^{2}}dx=[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{3x+2}{1+x^{2}}dx=[/tex3]

Podemos desmembrar a integral em duas, fica;

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{3x}{1+x^{2}}dx+\int\limits_{}^{}\frac{2}{1+x^2}dx=[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{3x}{1+x^{2}}dx+\int\limits_{}^{}\frac{2}{1+x^2}dx=[/tex3]

[tex3]3.\int\limits_{}^{}\frac{1}{1+x^{2}}xdx+2.\int\limits_{}^{}\frac{1}{1+x^2}dx=[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]3.\int\limits_{}^{}\frac{1}{1+x^{2}}xdx+2.\int\limits_{}^{}\frac{1}{1+x^2}dx=[/tex3]

A segunda integral ( mais à direita ) é conhecida como integral imediata e vale:

2.arc tg ( x ) + c

Já a primeira , podemos resolver através de uma substituição, veja;

u = 1 + x² → du = 2xdx → xdx = [tex3]\frac{du}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{du}{2}[/tex3]

Então;

[tex3]3.\int\limits_{}^{}\frac{1}{u}\frac{du}{2}=[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]3.\int\limits_{}^{}\frac{1}{u}\frac{du}{2}=[/tex3]

[tex3]\frac{3}{2}.\int\limits_{}^{}\frac{1}{u}du=\frac{3}{2}.ln(u)+C[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{3}{2}.\int\limits_{}^{}\frac{1}{u}du=\frac{3}{2}.ln(u)+C[/tex3]

Como u = 1 + x² , vem;

[tex3]=\frac{3}{2}.ln(x^2+1)+C[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]=\frac{3}{2}.ln(x^2+1)+C[/tex3]

Assim,[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{3x}{1+x^{2}}dx+\int\limits_{}^{}\frac{2}{1+x^2}dx=\frac{3}{2}.ln(x^2+1)+2arc \ tg(x) + k[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{3x}{1+x^{2}}dx+\int\limits_{}^{}\frac{2}{1+x^2}dx=\frac{3}{2}.ln(x^2+1)+2arc \ tg(x) + k[/tex3]

Portanto, [tex3]\int\limits_{}^{}\frac{3x+2}{1+x^{2}}dx=\frac{3}{2}.ln(x^2+1)+2arc \ tg(x)+k[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{3x+2}{1+x^{2}}dx=\frac{3}{2}.ln(x^2+1)+2arc \ tg(x)+k[/tex3]

Nota

A resposta somente seria [tex3]\frac{1}{4}\ln(1+4x^{2})-\frac{3}{2}\arctan2x +k [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{4}\ln(1+4x^{2})-\frac{3}{2}\arctan2x +k [/tex3]

, se a integral fosse:

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{2x-3}{1+4x^{2}}dx[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{2x-3}{1+4x^{2}}dx[/tex3]

Ou você errou o gabarito ou errou a função.


Bons estudos!

[RinaldoEN19]

Observe

Solução:

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{3x+2}{1+x^{2}}dx=[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{3x+2}{1+x^{2}}dx=[/tex3]

Podemos desmembrar a integral em duas, fica;

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{3x}{1+x^{2}}dx+\int\limits_{}^{}\frac{2}{1+x^2}dx=[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{3x}{1+x^{2}}dx+\int\limits_{}^{}\frac{2}{1+x^2}dx=[/tex3]

[tex3]3.\int\limits_{}^{}\frac{1}{1+x^{2}}xdx+2.\int\limits_{}^{}\frac{1}{1+x^2}dx=[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]3.\int\limits_{}^{}\frac{1}{1+x^{2}}xdx+2.\int\limits_{}^{}\frac{1}{1+x^2}dx=[/tex3]

A segunda integral ( mais à direita ) é conhecida como integral imediata e vale:

2.arc tg ( x ) + c

Já a primeira , podemos resolver através de uma substituição, veja;

u = 1 + x² → du = 2xdx → xdx = [tex3]\frac{du}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{du}{2}[/tex3]

Então;

[tex3]3.\int\limits_{}^{}\frac{1}{u}\frac{du}{2}=[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]3.\int\limits_{}^{}\frac{1}{u}\frac{du}{2}=[/tex3]

[tex3]\frac{3}{2}.\int\limits_{}^{}\frac{1}{u}du=\frac{3}{2}.ln(u)+C[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{3}{2}.\int\limits_{}^{}\frac{1}{u}du=\frac{3}{2}.ln(u)+C[/tex3]

Como u = 1 + x² , vem;

[tex3]=\frac{3}{2}.ln(x^2+1)+C[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]=\frac{3}{2}.ln(x^2+1)+C[/tex3]

Assim,[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{3x}{1+x^{2}}dx+\int\limits_{}^{}\frac{2}{1+x^2}dx=\frac{3}{2}.ln(x^2+1)+2arc \ tg(x) + k[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{3x}{1+x^{2}}dx+\int\limits_{}^{}\frac{2}{1+x^2}dx=\frac{3}{2}.ln(x^2+1)+2arc \ tg(x) + k[/tex3]

Portanto, [tex3]\int\limits_{}^{}\frac{3x+2}{1+x^{2}}dx=\frac{3}{2}.ln(x^2+1)+2arc \ tg(x)+k[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{3x+2}{1+x^{2}}dx=\frac{3}{2}.ln(x^2+1)+2arc \ tg(x)+k[/tex3]

Nota

A resposta somente seria [tex3]\frac{1}{4}\ln(1+4x^{2})-\frac{3}{2}\arctan2x +k [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{4}\ln(1+4x^{2})-\frac{3}{2}\arctan2x +k [/tex3]

, se a integral fosse:

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{2x-3}{1+4x^{2}}dx[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{2x-3}{1+4x^{2}}dx[/tex3]

Ou você errou o gabarito ou errou a função.


Bons estudos!

Bom , eu tinha feito ela antes e achei a mxm coisa que você , mas o gabarito no livro é esse mxm que coloquei e a função também , ent o livro deve ter vindo com o gabarito errado mxm . Muito obrigado

[Cardoso1979]

Observe

Solução:

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{3x+2}{1+x^{2}}dx=[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{3x+2}{1+x^{2}}dx=[/tex3]

Podemos desmembrar a integral em duas, fica;

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{3x}{1+x^{2}}dx+\int\limits_{}^{}\frac{2}{1+x^2}dx=[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{3x}{1+x^{2}}dx+\int\limits_{}^{}\frac{2}{1+x^2}dx=[/tex3]

[tex3]3.\int\limits_{}^{}\frac{1}{1+x^{2}}xdx+2.\int\limits_{}^{}\frac{1}{1+x^2}dx=[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]3.\int\limits_{}^{}\frac{1}{1+x^{2}}xdx+2.\int\limits_{}^{}\frac{1}{1+x^2}dx=[/tex3]

A segunda integral ( mais à direita ) é conhecida como integral imediata e vale:

2.arc tg ( x ) + c

Já a primeira , podemos resolver através de uma substituição, veja;

u = 1 + x² → du = 2xdx → xdx = [tex3]\frac{du}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{du}{2}[/tex3]

Então;

[tex3]3.\int\limits_{}^{}\frac{1}{u}\frac{du}{2}=[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]3.\int\limits_{}^{}\frac{1}{u}\frac{du}{2}=[/tex3]

[tex3]\frac{3}{2}.\int\limits_{}^{}\frac{1}{u}du=\frac{3}{2}.ln(u)+C[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{3}{2}.\int\limits_{}^{}\frac{1}{u}du=\frac{3}{2}.ln(u)+C[/tex3]

Como u = 1 + x² , vem;

[tex3]=\frac{3}{2}.ln(x^2+1)+C[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]=\frac{3}{2}.ln(x^2+1)+C[/tex3]

Assim,[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{3x}{1+x^{2}}dx+\int\limits_{}^{}\frac{2}{1+x^2}dx=\frac{3}{2}.ln(x^2+1)+2arc \ tg(x) + k[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{3x}{1+x^{2}}dx+\int\limits_{}^{}\frac{2}{1+x^2}dx=\frac{3}{2}.ln(x^2+1)+2arc \ tg(x) + k[/tex3]

Portanto, [tex3]\int\limits_{}^{}\frac{3x+2}{1+x^{2}}dx=\frac{3}{2}.ln(x^2+1)+2arc \ tg(x)+k[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{3x+2}{1+x^{2}}dx=\frac{3}{2}.ln(x^2+1)+2arc \ tg(x)+k[/tex3]

Nota

A resposta somente seria [tex3]\frac{1}{4}\ln(1+4x^{2})-\frac{3}{2}\arctan2x +k [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{4}\ln(1+4x^{2})-\frac{3}{2}\arctan2x +k [/tex3]

, se a integral fosse:

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{2x-3}{1+4x^{2}}dx[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{2x-3}{1+4x^{2}}dx[/tex3]

Ou você errou o gabarito ou errou a função.


Bons estudos!

Bom , eu tinha feito ela antes e achei a mxm coisa que você , mas o gabarito no livro é esse mxm que coloquei e a função também , ent o livro deve ter vindo com o gabarito errado mxm . Muito obrigado

Disponha