Ensino Superior ⇒ Calculo II Derivadas Tópico resolvido

[CabeçãoMG]

O valor inteiro mais próximo da soma das derivadas parciais de segunda ordem [tex3]\(\frac{\partial^2f}{\partial x^2},\frac{\partial^2f}{\partial y^2},\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}, \frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}\)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\(\frac{\partial^2f}{\partial x^2},\frac{\partial^2f}{\partial y^2},\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}, \frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}\)[/tex3]

da função [tex3]f(x,y)=x\cos(y)+ye^x[/tex3]

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[tex3]f(x,y)=x\cos(y)+ye^x[/tex3]

, no ponto [tex3]\(\ln 3,\frac{\pi}{2}\)[/tex3]

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[tex3]\(\ln 3,\frac{\pi}{2}\)[/tex3]

, é:

a) 11
b) 1
c) 3
d) 5
e) 9

[Cardoso1979]

A resposta é 9 letra e) , agora vou estou bastante sonolento, amanhã resolvo

[Cardoso1979]

Observe

Solução:

Calculando : [tex3]\frac{\partial f}{\partial x}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\partial f}{\partial x}[/tex3]

, temos:


[tex3]\frac{\partial f}{\partial x}=x'.cos(y)+x.[cos (y)]'+y'.e^x+y.(e^x)'=1.cos(y)+x.0+0.e^x+ye^x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\partial f}{\partial x}=x'.cos(y)+x.[cos (y)]'+y'.e^x+y.(e^x)'=1.cos(y)+x.0+0.e^x+ye^x[/tex3]

[tex3]\frac{\partial f}{\partial x}=cos(y)+ye^x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\partial f}{\partial x}=cos(y)+ye^x[/tex3]

Calculando : [tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}[/tex3]

, vem;

[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) =\frac{\partial }{\partial x} [cos(y)+ye^x]=(cosy)'+y'e^x+y.(e^x)'=0+0+ye^x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) =\frac{\partial }{\partial x} [cos(y)+ye^x]=(cosy)'+y'e^x+y.(e^x)'=0+0+ye^x[/tex3]

[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=ye^x ⟹ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(ln3,\frac{π}{2})=\frac{π}{2}.e^{ln3} = \frac{π}{2}.3 ⟹ [/tex3]

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[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=ye^x ⟹ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(ln3,\frac{π}{2})=\frac{π}{2}.e^{ln3} = \frac{π}{2}.3 ⟹ [/tex3]

[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(ln3,\frac{π}{2})=\frac{3π}{2} [/tex3]

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[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(ln3,\frac{π}{2})=\frac{3π}{2} [/tex3]

Calculando : [tex3]\frac{\partial f}{\partial y}[/tex3]

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[tex3]\frac{\partial f}{\partial y}[/tex3]

, temos:

[tex3]\frac{\partial f}{\partial y}=x'.cos(y)+x.[cos (y)]'+y'.e^x+y.(e^x)'=0.cos(y)+x.(-seny)+1.e^x+y.0[/tex3]

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[tex3]\frac{\partial f}{\partial y}=x'.cos(y)+x.[cos (y)]'+y'.e^x+y.(e^x)'=0.cos(y)+x.(-seny)+1.e^x+y.0[/tex3]

[tex3]\frac{\partial f}{\partial y}=-xsen(y)+e^x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\partial f}{\partial y}=-xsen(y)+e^x[/tex3]

Calculando : [tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}[/tex3]

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[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}[/tex3]

, fica;

[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right) =\frac{\partial }{\partial y} [-xsen(y)+e^x]=(-xseny)'+(e^x)'=[-x'.sen(y)]-[x.(seny)']+0=-0.sen(y)-xcos(y)[/tex3]

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[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right) =\frac{\partial }{\partial y} [-xsen(y)+e^x]=(-xseny)'+(e^x)'=[-x'.sen(y)]-[x.(seny)']+0=-0.sen(y)-xcos(y)[/tex3]

[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=-xcos(y) ⟹ \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(ln3,\frac{π}{2})=-ln(3).cos\left(\frac{π}{2}\right)=-ln(3).0[/tex3]

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[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=-xcos(y) ⟹ \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(ln3,\frac{π}{2})=-ln(3).cos\left(\frac{π}{2}\right)=-ln(3).0[/tex3]

⟹

[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(ln3,\frac{π}{2})=0[/tex3]

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[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(ln3,\frac{π}{2})=0[/tex3]

Calculando [tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}[/tex3]

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[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}[/tex3]

, temos que:

[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}=\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right) = \frac{\partial }{\partial x} [-xsen(y)+e^x]=-x'.sen(y)-x.(seny)'+(e^x)'=-1.sen(y)-x.0+e^x[/tex3]

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[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}=\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right) = \frac{\partial }{\partial x} [-xsen(y)+e^x]=-x'.sen(y)-x.(seny)'+(e^x)'=-1.sen(y)-x.0+e^x[/tex3]

⟹

[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}=-sen(y)+e^x ⟹ \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(ln3,\frac{π}{2})= -sen\left(\frac{π}{2}\right) +e^{ln3}=-1+3 [/tex3]

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[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}=-sen(y)+e^x ⟹ \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(ln3,\frac{π}{2})= -sen\left(\frac{π}{2}\right) +e^{ln3}=-1+3 [/tex3]

⟹

[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(ln3,\frac{π}{2})=2[/tex3]

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[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(ln3,\frac{π}{2})=2[/tex3]

Calculando [tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}[/tex3]

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[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}[/tex3]

, temos que:

[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}=\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) = \frac{\partial }{\partial y} [cos(y)+ye^x]=(cosy)'+y'.e^x+y.(e^x)'=-sen(y)+1.e^x+y.0[/tex3]

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[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}=\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) = \frac{\partial }{\partial y} [cos(y)+ye^x]=(cosy)'+y'.e^x+y.(e^x)'=-sen(y)+1.e^x+y.0[/tex3]

⟹

[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial
x}=-sen (y)+e^x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial
x}=-sen (y)+e^x[/tex3]

[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}=-sen(y)+e^x ⟹ \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(ln3,\frac{π}{2})= -sen\left(\frac{π}{2}\right) +e^{ln3}=-1+3 [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}=-sen(y)+e^x ⟹ \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(ln3,\frac{π}{2})= -sen\left(\frac{π}{2}\right) +e^{ln3}=-1+3 [/tex3]

⟹

[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(ln3,\frac{π}{2})=2[/tex3]

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[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(ln3,\frac{π}{2})=2[/tex3]

Assim,

[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(ln3,\frac{π}{2})+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(ln3,\frac{π}{2})+\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(ln3,\frac{π}{2})+\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(ln3,\frac{π}{2})=[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(ln3,\frac{π}{2})+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(ln3,\frac{π}{2})+\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(ln3,\frac{π}{2})+\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(ln3,\frac{π}{2})=[/tex3]

[tex3]\frac{3π}{2}+0+2+2=8,7≈9[/tex3]

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[tex3]\frac{3π}{2}+0+2+2=8,7≈9[/tex3]

Portanto, [tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(ln3,\frac{π}{2})+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(ln3,\frac{π}{2})+\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(ln3,\frac{π}{2})+\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(ln3,\frac{π}{2})≈9[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(ln3,\frac{π}{2})+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(ln3,\frac{π}{2})+\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(ln3,\frac{π}{2})+\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(ln3,\frac{π}{2})≈9[/tex3]

, alternativa e).

Obs. Confira os cálculos, pois resolver através de celular não é nada fácil!


Nota

[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}=\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}=\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}[/tex3]

Esse caso só não ocorrerá quando as derivadas de primeira ordem não são contínuas em algum ponto. Nesse caso, isso não acontece somente nesse ponto.


Bons estudos!

[CabeçãoMG]

Obrigado! Pela explicação e ajuda.
A resposta inclusive ja foi confirmada e está correta.

[Cardoso1979]

Obrigado! Pela explicação e ajuda.
A resposta inclusive ja foi confirmada e está correta.

Disponha