Concursos Públicos

Mensagem não lidapor **Berredo** » Sex 03 Dez, 2021 20:38

A equação [tex3]x^3-147x+686=0[/tex3] tem por raízes os números [tex3]m[/tex3] e [tex3]n,[/tex3] sendo m raiz dupla e [tex3]n = - 2 m.[/tex3] Nessas condições, o valor de (m + n) é

(A) [tex3]7[/tex3]
(B) [tex3]-7 [/tex3]
(C) [tex3]-7[/tex3] ou [tex3]7[/tex3]
(D) [tex3]7 - i[/tex3]
(E) [tex3]-7 + i[/tex3]

Resposta

B

Se a raiz é dupla, então uma das raízes da primeira derivada também é raiz da primitiva.

[tex3]p(x) = x^3 - 147x + 686 [/tex3]
[tex3]p'(x) = 3x^2 - 147[/tex3]
[tex3]p'(x) = 0 \iff 3x^2 - 147 = 0 \iff x^2 = 49 \iff x_1 = +7 , \ \ x_2 = -7[/tex3]
[tex3]p(x) = (x - m)^2(x - n ) = (x - m)^2(x + 2m)[/tex3]

Note que o termo independente em [tex3]p(x)[/tex3] é positivo, logo [tex3]m > 0 \implies m = 7[/tex3] , daí [tex3]n = -14[/tex3] .

[tex3]m + n = -7[/tex3]

Um outro modo, sem usar derivada, seria desenvolver [tex3]p(x) = (x - m)^2(x - n ) = (x - m)^2(x + 2m) = x^3 -3m^2x+2m^3 = x^3 - 147x + 686 [/tex3]

[tex3]3m^2 = 147 \iff ...[/tex3]

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