Podemos tentar encontrar as raĂzes utilizando o
Teorema da Raiz Racional:
Seja o polinĂŽmio de coeficientes inteiros [tex3]P(x)=a_0+a_1x^1+...+a_nx^n[/tex3]. Se [tex3]\frac{p}{q}\in \mathbb{Q}[/tex3] for raĂz desse polinĂŽmio, com [tex3]\mdc(p,q)=1[/tex3], entĂŁo [tex3]p[/tex3] Ă© divisor de [tex3]a_0[/tex3] e [tex3]q[/tex3] Ă© divisor de [tex3]a_n[/tex3]
Como no nosso caso [tex3]a_4=1[/tex3]
, entĂŁo todas as raĂzes racionais, se existirem, sĂŁo inteiras. Como os divisores de [tex3]a_0=120[/tex3]
sĂŁo [tex3]\{1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,24,30,40,60,120\}[/tex3]
, entĂŁo as possĂveis raĂzes sĂŁo da forma [tex3]\{\pm1,\pm2,\pm3,\pm4,\pm5,\pm6,\pm8,\pm10,\pm12,\pm15,\pm24,\pm30,\pm40,\pm60,\pm120\}[/tex3]
. Como as raĂzes representam mediadas, entĂŁo estas nĂŁo podem ser negativas. Assim, podemos testar apenas as positivas. Testando estas, vemos que 2,3,4 e 5 sĂŁo raĂzes. Portanto [tex3]m=2,n=3,p=4[/tex3]
e [tex3]q=5[/tex3]
. Calculando a diferença de volumes:
[tex3]p^3-mnq=4^3-2\cdot3\cdot 5[/tex3]
[tex3]p^3-mnq=34\text{ cm}^3[/tex3]
)
