Concursos Públicos ⇒ (CAU-SC) Divisibilidade

[MatheusBorges]

25) Certo numero de 3 algarismos quando divido por 11 deixa resto 1 e quando divido por 13 deixa resto 4. Somando -se os algarismos deste número encontramos:
A) 10
B) 9
C) 8
D) 7
E) 6

Resposta

---

B

[PeterPark]

N = 11x+1
N = 13m+4
[tex3]x,m\in \mathbb{I}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x,m\in \mathbb{I}[/tex3]

13m+4=11x+1
11m+2m=11x-3
2m = 11(x-m)-3
2m = 11b-3 [tex3]\hspace{1cm}b\in \mathbb{I}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\hspace{1cm}b\in \mathbb{I}[/tex3]

2m = 11b-3 *(6)
12m = 11*6b-18
12m = 11c-18 [tex3]\hspace{1cm}c\in \mathbb{I}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\hspace{1cm}c\in \mathbb{I}[/tex3]

11m + m = 11c-18
m = 11(c-m) - 18
m = 11f - 18 [tex3]\hspace{1cm}f\in \mathbb{I}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\hspace{1cm}f\in \mathbb{I}[/tex3]

Desse modo, temos que N=13m+4, onde m é inteiro e m=11f-18
N = 13(11f-18)+4 = 143f - 230

[tex3]100\leq 143f-230<1000 \\\ \\3 \leq f< 9 [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]100\leq 143f-230<1000 \\\ \\3 \leq f< 9 [/tex3]

Se f=3, N = 199, S = 19
Se f=4, N = 342, S = 9
. . .
Para f > 4 as somas passam do limite das alternativas

testt.JPG (9.17 KiB) Exibido 878 vezes

[MatheusBorges]

N = 11x+1
N = 13m+4
[tex3]x,m\in \mathbb{I}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x,m\in \mathbb{I}[/tex3]

13m+4=11x+1
11m+2m=11x-3
2m = 11(x-m)-3
2m = 11b-3 [tex3]\hspace{1cm}b\in \mathbb{I}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\hspace{1cm}b\in \mathbb{I}[/tex3]

2m = 11b-3 *(6)
12m = 11*6b-18
12m = 11c-18 [tex3]\hspace{1cm}c\in \mathbb{I}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\hspace{1cm}c\in \mathbb{I}[/tex3]

11m + m = 11c-18
m = 11(c-m) - 18
m = 11f - 18 [tex3]\hspace{1cm}f\in \mathbb{I}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\hspace{1cm}f\in \mathbb{I}[/tex3]

Desse modo, temos que N=13m+4, onde m é inteiro e m=11f-18
N = 13(11f-18)+4 = 143f - 230

[tex3]100\leq 143f-230<1000 \\\ \\3 \leq f< 9 [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]100\leq 143f-230<1000 \\\ \\3 \leq f< 9 [/tex3]

Se f=3, N = 199, S = 19
Se f=4, N = 342, S = 9
. . .
Para f > 4 as somas passam do limite das alternativas
testt.JPG

Oi, amigo!

Obrigado pela resposta. Entretanto, não entendi o porquê dessa repetida substituição de incógnitas. Poderia me explicar?

[PeterPark]

Obrigado pela resposta. Entretanto, não entendi o porquê dessa repetida substituição de incógnitas. Poderia me explicar?

Opa Matheus, eu resolvi este exercício baseado nesta solução de outro usuário do forum: viewtopic.php?p=268565#p268565
Não tenho pleno domínio da matéria, mas vou tentar explicar minha linha de raciocínio. Basicamente aquelas substituições servem para isolar o m, sem que ele deixe de ser um valor inteiro:

Nas duas primeiras linhas, eu determino N como sendo uma função das variáveis m e x.
Veja:
Na primeira linha N = 11x+1
para valores de x incrementando, N= 12, 23, 34, 45, 56, 67, 78, 89, 100, 111, 122, 133, 144, 155, 166, 177, 188, 199 .....

Na segunda linha N' = 13m+4
para valores de m incrementando, N= 17, 30, 43, 56, 69, 82, 95, 108, 121, 134, 147, 160, 173, 199 ....

Como 11x+1 = 13m+4, é preciso achar os valores acima em que N=N'.

Porém é muito trabalhoso, então seria mais fácil escrever N em função de uma variável ao invés de duas, e ao invés de tentar dar "match" nos valores.

Podemos escrever uma variavel em função da outra, e substituir na equação de N.
[tex3]11x+1=13m+4 \\ x=\frac{13m+3}{11}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]11x+1=13m+4 \\ x=\frac{13m+3}{11}[/tex3]

Obviamente esta substituição não ajuda, além disso, x é inteiro, e isolar o x ali não parece resultar em um numero inteiro.

Entretanto.
Posso dobrar ambos os lados da equação sem alterar o significado(tudo continua inteiro):
[tex3]11x+1 = 13m+4 ~~~~~\cdot(2)\\ 22x+2 = 13\cdot 2\cdot m+8 \\ 22x = 13\cdot 2\cdot m+6 [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]11x+1 = 13m+4 ~~~~~\cdot(2)\\ 22x+2 = 13\cdot 2\cdot m+8 \\ 22x = 13\cdot 2\cdot m+6 [/tex3]

A equação acima me permite escrever 22x como um numero que divide por 26, com resto 6:
[tex3]22x = 26m+6 [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]22x = 26m+6 [/tex3]

Mas se o divisor for dividido na metade, o quociente dobra:
[tex3]22x=13\cdot 2m+6 [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]22x=13\cdot 2m+6 [/tex3]

O quociente deve ser inteiro, sempre, e como m é inteiro, 2m é inteiro:
[tex3]22x= 13b+6 ~~~~~~~~~~~b\in \mathbb{I} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]22x= 13b+6 ~~~~~~~~~~~b\in \mathbb{I} [/tex3]

Essa manipulação me permite isolar o x, em função de m, sem que altere o sentido de x(de que ele deve ser inteiro).
[tex3]22x = 13b+6 \\ 13x+9x = 13b+6 \\ 9x = 13(b-x)+6 \\ 9x=13k+6 ~~~~~~~k\in \mathbb{I} ~~~~\cdot (2)\\ 18x = 13\cdot 2k+12 \\ 5x = 13\cdot (2k-x)+12 = 13w+12 ~~~~~~w\in \mathbb{I} \\ 15x = 13\cdot 3w+36 \\ 2x = 13\cdot (3w-x)+36 = 13\theta +36 ~~~\theta \in \mathbb{I} ~~~\cdot (7) \\ 14x = 13\cdot 14\theta +504 \\ x = 13\cdot (14\theta -x)+252 \\ x = 13j+252[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]22x = 13b+6 \\ 13x+9x = 13b+6 \\ 9x = 13(b-x)+6 \\ 9x=13k+6 ~~~~~~~k\in \mathbb{I} ~~~~\cdot (2)\\ 18x = 13\cdot 2k+12 \\ 5x = 13\cdot (2k-x)+12 = 13w+12 ~~~~~~w\in \mathbb{I} \\ 15x = 13\cdot 3w+36 \\ 2x = 13\cdot (3w-x)+36 = 13\theta +36 ~~~\theta \in \mathbb{I} ~~~\cdot (7) \\ 14x = 13\cdot 14\theta +504 \\ x = 13\cdot (14\theta -x)+252 \\ x = 13j+252[/tex3]

Consegui escrever x inteiro em função de m (m esta ali dentro daquele j, e j são as varias relações de produto e subtração que realizamos entre m e x, que chamamos de theta, b, k....)

Se você expandir o j:
[tex3]j = 84m-71x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]j = 84m-71x[/tex3]

E atribuir ao j um inteiro qualquer (0,1,2..), é facil verificar que x será inteiro, ja que x=13j+252.
Já o valor de m é:
j = 84m-71(13j+252)

[tex3]m = \frac{924j+17892}{84} = \frac{2^2\cdot 3\cdot 7\cdot 11\cdot j+2^2\cdot 3\cdot 7\cdot 213}{2^2\cdot 3\cdot 7} = 11j+213[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]m = \frac{924j+17892}{84} = \frac{2^2\cdot 3\cdot 7\cdot 11\cdot j+2^2\cdot 3\cdot 7\cdot 213}{2^2\cdot 3\cdot 7} = 11j+213[/tex3]

(sempre inteiro)

Ou seja, o j pode valer qualquer inteiro:

Agora é possível substituir x na equação:
N = 11x+1 = 11(13j+252)+1 = 143j+2773

N tem min de 3 digitos, max de 3:
[tex3]100\leq [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]100\leq [/tex3]

143j+2773<1000
[tex3]-18\leq j <-12[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]-18\leq j <-12[/tex3]

Para j = -17, tem-se 342:

captura.JPG (9.34 KiB) Exibido 852 vezes

[PeterPark]

Ps: Não precisa substituir as variaveis, eu fiz para ficar mais organizado:
13x+4 = 11m+1
11x+2x +4 = 11m+1
2x = 11(m-x)-3
12x = 11(6m-6x) - 18
x = 11(6m-7x)-18

é o resultado
x= 11f-18

O interessante é que 6m-7x pode ter os valores inteiros de m e x combinados para formarem qualquer inteiro (0,1,2..).