Boa noite, turma!
Poderiam, por gentileza, me ajudar na resolução da questão abaixo:
13. Duas máquinas, X e Y, produzem determinado tipo de peça, de maneira que a máquina X produz, por minuto, 9 peças a mais do que a máquina Y. Cada uma dessas máquinas produziu 600 dessas peças, e o tempo usado pela máquina X nesse serviço foi 1 hora a menos do que o tempo da máquina Y. Se essas máquinas começaram o serviço ao mesmo tempo, quando a máquina X terminou sua produção, a máquina Y havia produzido um total de
peças igual a:
(A) 240.
(B) 280.
(C) 360.
(D) 480.
(E) 540
Concursos Públicos ⇒ Proporção - VUNESP - Prova 17/10/21 Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Out 2021
18
18:34
Proporção - VUNESP - Prova 17/10/21
Última edição: DOUGLASHM (Ter 19 Out, 2021 08:31). Total de 2 vezes.
Out 2021
20
23:46
Re: Proporção - VUNESP - Prova 17/10/21
RESOLUÇÃO:
Se eu produzo uma quantidade numa velocidade de 5 peças por minuto, eu devo escrever:
[tex3]Qtd = 5*t[/tex3]
De tal maneira que em t=2minutos eu tenha [tex3]Qtd = 5*2=10[/tex3]
1. Vamos chamar a quantidade de peças produzidas pela máquina X de [tex3]Qtd_x[/tex3] e pela máquina Y de [tex3]Qtd_y[/tex3] .
A quantidade de peças por minutos produzidas por cada máquina é dada por:
[tex3]Qtd_x = v_x*t \\ Qtd_y = v_y*t[/tex3]
[tex3]\rule{30cm}{1.4pt}[/tex3]
2. O exercício nos diz que a máquina X produz 9 peças a mais por minuto. Isso significa que a velocidade de produção dela é 9 unidades maior que a velocidade de produção da máquina Y:
[tex3]Qtd_x = (9+v_y)*t = v_y*t+9*t = Qtd_y+9*t[/tex3] (este t são os minutos)
[tex3]\rule{30cm}{1.4pt}[/tex3]
3. O exercício diz que 600 peças foram produzidas por cada máquina, e como cada uma tem uma velocidade diferente, o tempo de produção também é diferente:
[tex3]600= (9+v_y)*t_x \\ 600= v_y*t_y[/tex3]
[tex3]\rule{30cm}{1.4pt}[/tex3]
4. O exercício diz que o tempo que a X levou para produzir as 600 peças é igual ao tempo que a Y levou, menos 1hora ([tex3]t_x=t_y-1h[/tex3] ). Como no passo 2, definimos o tempo em minutos, converteremos 1hora = 60minutos:
[tex3]600= (9+v_y)*(t_y-60) \\ 600 = v_y*t_y[/tex3]
Perceba que temos um sistema de equações:
[tex3]\begin{cases}
(9+v_y)*(t_y-60) = 600 \\
v_y*t_y=600
\end{cases}[/tex3]
Nós podemos isolar uma varíavel na equaçao de baixo, e substituir na de cima, pois as variaveis [tex3]v_y~~~e~~t_y[/tex3] são as mesmas para as
duas equações:
[tex3]v_y*t_y=600 ~~~~~\rightarrow ~~~~~~v_y=\frac{600}{t_y}[/tex3] ([tex3]v_y[/tex3] isolado. Você pode isolar [tex3]t_y[/tex3] se quiser)
[tex3]\rule{10cm}{0.4pt}[/tex3]
4.1 - Inserindo [tex3]v_y[/tex3] isolado em [tex3](9+v_y)*(t_y-60) = 600 [/tex3] :
[tex3](9+\frac{600}{t_y})*(t_y-60) = 600 \\\ \\\ \\ \(\frac{9t_y+600}{t_y}\)\cdot(t_y-60)=600 \\\ \\\ \\ (9t_y+600)(t_y-60)=600t_y \\\ \\\ \\ 9t(_{y})^2-540t_y+600t_y-36000=600t_y \\\ \\\ \\ 9(t_y)^2-540t_t-36000=0 \\\ \\\ \\ (t_y)^2- 60t_y-4000=0[/tex3]
[tex3]\rule{10cm}{0.4pt}[/tex3]
[tex3]\Delta[/tex3] - Calculando o Delta da função quadrática: [tex3]\Delta = 3600 +16000= 19600 [/tex3]
Se você fatorar o 19600, vai encontrar: [tex3]19600=2^2\cdot 2^2\cdot5^2\cdot7^2 =(2\cdot2\cdot5\cdot7)^2= 140^2[/tex3]
[tex3]\rule{10cm}{0.4pt}[/tex3]
Raíz - Calculando as raízes (valor de [tex3]t_y[/tex3] ) da função:
[tex3]t_y = \frac{60\pm \sqrt{19600}}{2} = \frac{60\pm 140 }{2}[/tex3]
[tex3]t_y' = 100[/tex3]
[tex3]t_y''=-40[/tex3] (como não existe tempo negativo, esse [tex3]t_y''[/tex3] deve ser descartado).
[tex3]\rule{10cm}{0.4pt}[/tex3]
Então a máquina Y, demora um tempo [tex3]t_y=100[/tex3] minutos para para produzir 600 peças (ver passo 4).
Isso significa que [tex3]t_x=40[/tex3] , pois a máquina X termina 60 minutos antes.
[tex3]\rule{10cm}{0.4pt}[/tex3]
Substituindo [tex3]t_y[/tex3] na equação obtida no início do passo 4, temos: [tex3]v_y=\frac{600}{t_y} = \frac{600}{100}=6[/tex3] descobrimos que a velocidade de produção de Y é de 6 peças por minuto. E [tex3]v_x=6+9=15[/tex3] , a máquina X produz 15 peças por minuto.
[tex3]\rule{30cm}{1.4pt}[/tex3]
5. O exercício não pede, mas a quantidade de peças produzidas pela máquina X, até que a Y termine de produzir 600 peças ([tex3]600=6*t\rightarrow t=100[/tex3] ), ou seja, a qtd de peças que a máquina X produz em 100minutos é:
[tex3]Qtd_x=v_x*t = 15*100 = 1500[/tex3]
6. A quantidade de peças que a máquina Y havia produzido quando a X terminou sua produção ([tex3]600=15*t \rightarrow t=40[/tex3] ), ou seja, a qtd de peças que Y produziu em 40 minutos é:
[tex3]\textbf Qtd_y = 6*40=240[/tex3]
Se eu produzo uma quantidade numa velocidade de 5 peças por minuto, eu devo escrever:
[tex3]Qtd = 5*t[/tex3]
De tal maneira que em t=2minutos eu tenha [tex3]Qtd = 5*2=10[/tex3]
1. Vamos chamar a quantidade de peças produzidas pela máquina X de [tex3]Qtd_x[/tex3] e pela máquina Y de [tex3]Qtd_y[/tex3] .
A quantidade de peças por minutos produzidas por cada máquina é dada por:
[tex3]Qtd_x = v_x*t \\ Qtd_y = v_y*t[/tex3]
[tex3]\rule{30cm}{1.4pt}[/tex3]
2. O exercício nos diz que a máquina X produz 9 peças a mais por minuto. Isso significa que a velocidade de produção dela é 9 unidades maior que a velocidade de produção da máquina Y:
[tex3]Qtd_x = (9+v_y)*t = v_y*t+9*t = Qtd_y+9*t[/tex3] (este t são os minutos)
[tex3]\rule{30cm}{1.4pt}[/tex3]
3. O exercício diz que 600 peças foram produzidas por cada máquina, e como cada uma tem uma velocidade diferente, o tempo de produção também é diferente:
[tex3]600= (9+v_y)*t_x \\ 600= v_y*t_y[/tex3]
[tex3]\rule{30cm}{1.4pt}[/tex3]
4. O exercício diz que o tempo que a X levou para produzir as 600 peças é igual ao tempo que a Y levou, menos 1hora ([tex3]t_x=t_y-1h[/tex3] ). Como no passo 2, definimos o tempo em minutos, converteremos 1hora = 60minutos:
[tex3]600= (9+v_y)*(t_y-60) \\ 600 = v_y*t_y[/tex3]
Perceba que temos um sistema de equações:
[tex3]\begin{cases}
(9+v_y)*(t_y-60) = 600 \\
v_y*t_y=600
\end{cases}[/tex3]
Nós podemos isolar uma varíavel na equaçao de baixo, e substituir na de cima, pois as variaveis [tex3]v_y~~~e~~t_y[/tex3] são as mesmas para as
duas equações:
[tex3]v_y*t_y=600 ~~~~~\rightarrow ~~~~~~v_y=\frac{600}{t_y}[/tex3] ([tex3]v_y[/tex3] isolado. Você pode isolar [tex3]t_y[/tex3] se quiser)
[tex3]\rule{10cm}{0.4pt}[/tex3]
4.1 - Inserindo [tex3]v_y[/tex3] isolado em [tex3](9+v_y)*(t_y-60) = 600 [/tex3] :
[tex3](9+\frac{600}{t_y})*(t_y-60) = 600 \\\ \\\ \\ \(\frac{9t_y+600}{t_y}\)\cdot(t_y-60)=600 \\\ \\\ \\ (9t_y+600)(t_y-60)=600t_y \\\ \\\ \\ 9t(_{y})^2-540t_y+600t_y-36000=600t_y \\\ \\\ \\ 9(t_y)^2-540t_t-36000=0 \\\ \\\ \\ (t_y)^2- 60t_y-4000=0[/tex3]
[tex3]\rule{10cm}{0.4pt}[/tex3]
[tex3]\Delta[/tex3] - Calculando o Delta da função quadrática: [tex3]\Delta = 3600 +16000= 19600 [/tex3]
Se você fatorar o 19600, vai encontrar: [tex3]19600=2^2\cdot 2^2\cdot5^2\cdot7^2 =(2\cdot2\cdot5\cdot7)^2= 140^2[/tex3]
[tex3]\rule{10cm}{0.4pt}[/tex3]
Raíz - Calculando as raízes (valor de [tex3]t_y[/tex3] ) da função:
[tex3]t_y = \frac{60\pm \sqrt{19600}}{2} = \frac{60\pm 140 }{2}[/tex3]
[tex3]t_y' = 100[/tex3]
[tex3]t_y''=-40[/tex3] (como não existe tempo negativo, esse [tex3]t_y''[/tex3] deve ser descartado).
[tex3]\rule{10cm}{0.4pt}[/tex3]
Então a máquina Y, demora um tempo [tex3]t_y=100[/tex3] minutos para para produzir 600 peças (ver passo 4).
Isso significa que [tex3]t_x=40[/tex3] , pois a máquina X termina 60 minutos antes.
[tex3]\rule{10cm}{0.4pt}[/tex3]
Substituindo [tex3]t_y[/tex3] na equação obtida no início do passo 4, temos: [tex3]v_y=\frac{600}{t_y} = \frac{600}{100}=6[/tex3] descobrimos que a velocidade de produção de Y é de 6 peças por minuto. E [tex3]v_x=6+9=15[/tex3] , a máquina X produz 15 peças por minuto.
[tex3]\rule{30cm}{1.4pt}[/tex3]
5. O exercício não pede, mas a quantidade de peças produzidas pela máquina X, até que a Y termine de produzir 600 peças ([tex3]600=6*t\rightarrow t=100[/tex3] ), ou seja, a qtd de peças que a máquina X produz em 100minutos é:
[tex3]Qtd_x=v_x*t = 15*100 = 1500[/tex3]
6. A quantidade de peças que a máquina Y havia produzido quando a X terminou sua produção ([tex3]600=15*t \rightarrow t=40[/tex3] ), ou seja, a qtd de peças que Y produziu em 40 minutos é:
[tex3]\textbf Qtd_y = 6*40=240[/tex3]
Última edição: PeterPark (Qua 20 Out, 2021 23:58). Total de 1 vez.
Razão: melhorando
Razão: melhorando
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