Concursos Públicos ⇒ numero de diagonais de um dado

[streg]

Um dado na forma de icosaedro, numerado de 1 a 20, é lançado uma vez e o resultado é anotado. Ao todo, esse dado tem 30 arestas e 12 vértices.
Com base nessa situação hipotética, julgue o item.
O número de diagonais desse dado é igual a 66.

[

[JBCosta]

Olá!

Veja que cada face do icosaedro possui 3 arestas, pois sendo n o número de arestas de cada face, F o número de faces, V o número de vértices e A o número de aresta do icosaedro temos:

[tex3]\frac{F . n}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{F . n}{2}[/tex3]

= 30 [tex3]\rightarrow \frac{20n}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\rightarrow \frac{20n}{2}[/tex3]

=30 [tex3]\rightarrow [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\rightarrow [/tex3]

n = 3

Em cada vértice do icosaedro se encontram [tex3]\frac{30}{3 .2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{30}{3 .2}[/tex3]

= 5 arestas.

_{(Obs.: Dividimos por dois para não contar a mesma aresta duas vezes.)}

De cada vértice do icosaedro partirão 11 segmentos para encontrar os outros vértices, dos quais 5 são arestas e as demais diagonais, portanto o número de diagonais será:

[tex3]\frac{12(11 - 5)}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{12(11 - 5)}{2}[/tex3]

= 36

_{Obs.: Dividimos por dois para não contar a mesma diagonal duas vezes.}

Portanto a afirmação é falsa.

Valeu!?