Concursos Públicos ⇒ [IBFC] Resto da divisão

[Professor]

O resto da divisão de [tex3](1023^6-53^3+37\cdot 40+1)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](1023^6-53^3+37\cdot 40+1)[/tex3]

por [tex3]25[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]25[/tex3]

é
igual a:
a) 18
b) 7
c) 13
d) 21

Resposta

---

a

[deOliveira]

[tex3]1023\equiv -2(\mod 25)\\
\implies 1023^6\equiv(-2)^6(\mod 25)\\\therefore 1023^6\equiv 64(\mod 25)\\
64\equiv 14(\mod 25)\\\therefore (I)\boxed{1023^6\equiv 14(\mod 25)} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]1023\equiv -2(\mod 25)\\
\implies 1023^6\equiv(-2)^6(\mod 25)\\\therefore 1023^6\equiv 64(\mod 25)\\
64\equiv 14(\mod 25)\\\therefore (I)\boxed{1023^6\equiv 14(\mod 25)} [/tex3]

[tex3]53\equiv 3(\mod 25)\\
\implies 53^3\equiv 27(\mod 25)\\
27\equiv 2(\mod 25)\\
\therefore (II)\boxed{53^3\equiv 2(\mod 25)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]53\equiv 3(\mod 25)\\
\implies 53^3\equiv 27(\mod 25)\\
27\equiv 2(\mod 25)\\
\therefore (II)\boxed{53^3\equiv 2(\mod 25)}[/tex3]

[tex3]37\equiv 12(\mod 25)\\
40\equiv 15(\mod 25)\\
\implies 37\cdot40\equiv 12\cdot 15(\mod 25)\\
\therefore 37\cdot 40\equiv 180(\mod 25)\\
180\equiv5(\mod 25)\\
\therefore(III)\boxed{37\cdot140\equiv5(\mod 25)} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]37\equiv 12(\mod 25)\\
40\equiv 15(\mod 25)\\
\implies 37\cdot40\equiv 12\cdot 15(\mod 25)\\
\therefore 37\cdot 40\equiv 180(\mod 25)\\
180\equiv5(\mod 25)\\
\therefore(III)\boxed{37\cdot140\equiv5(\mod 25)} [/tex3]

[tex3](IV) 1\equiv 1(\mod 25)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](IV) 1\equiv 1(\mod 25)[/tex3]

Então juntando [tex3](I)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](I)[/tex3]

, [tex3](II)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](II)[/tex3]

, [tex3](III)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](III)[/tex3]

e [tex3](IV)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](IV)[/tex3]

temos:

[tex3]1023^6-53^3+37\cdot 40+1\equiv 14-2+5+1(\mod 25)\\
\therefore 1023^6-53^3+37\cdot 40+1\equiv 18(\mod 25)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]1023^6-53^3+37\cdot 40+1\equiv 14-2+5+1(\mod 25)\\
\therefore 1023^6-53^3+37\cdot 40+1\equiv 18(\mod 25)[/tex3]

Portanto, o reto é [tex3]18[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]18[/tex3]

.

Espero ter ajudado.

[Leandro2112]

Belíssima solução.