O Poder da Matemágica
rramenzoni escreveu: ↑11 Mar 2021, 23:24
Logo, 17 * 3 = 51
X - 17 = 51 (entregas a mais para os que sobraram)
X = 68
Olha, eu fiquei bem encucado com essa lógica, então tentei aplica-la em outro exemplo e não, não bateu, tentei preservar ao máximo o exercício, usando até valores com números primos.
Vamos falar assim: Um loja faz 15 entregas por dias, dividas igualmente pelos seus funcionários. Num dia, 2 empregados faltam e cada funcionário precisa entregar 2 pacotes a mais. Aplicando essa lógica aí, seria:
[tex3]2\cdot2=4\\x-2=4\,\,\,\therefore\,\,\,x=6\\15/6 = \,???[/tex3]
Não faz sentido. O resulto correto é que essa loja possui 5 funcionário, cada um entrega 3; quando 2 faltaram, cada um entregou 5 (2 pacotes a mais).
Dinamizando o exercício
Ainda assim, existe uma maneira rápida de fazer através de algumas suposições. Vamos de definir que [tex3]\boxed{x}[/tex3]
é o número de empregados nesse dia atípico e que [tex3]\boxed{M}[/tex3]
é a quantidade média de entregas num dia comum. Podemos fazer duas afirmações:
[tex3]1020=(M+3)\cdot x\\1020=M\cdot (x+17)[/tex3]
Igualando...
[tex3](M+3)\cdot x=M\cdot (x+17)\\{\color{Red}\cancel{\color{Black}M\cdot x}}+3\cdot x={\color{Red}\cancel{\color{Black}M\cdot x}}+17\cdot M\\\boxed{3\cdot x=17\cdot M} [/tex3]
Teoria dos Números
Isso é uma igualdade muito útil. Ocorre que, [tex3]\boxed{x,M\in\mathbb{N}}[/tex3]
e [tex3]\boxed{\mdc(3,17)=1}[/tex3]
, ou seja,
necessariamente, [tex3]\boxed{x=17k}[/tex3]
e [tex3]\boxed{M=3k}[/tex3]
, tal que [tex3]\boxed{k\in\mathbb{Z}}[/tex3]
. escrevendo isso, temos:
[tex3]3\cdot {\color{SeaGreen}x}=17\cdot {\color{Purple}M}\\\boxed{3\cdot {\color{SeaGreen}17k}=17\cdot {\color{Purple}3k}}[/tex3]
Basta agr testarmos os valores sabendo que [tex3]\boxed{1020=(M+3)x}[/tex3]
Tabela completa:
[tex3]\begin{matrix}
k&M&x\\1&3&17\\2&6&34\\3&9&51\\4&12&68\\5&15&85\\6&18&102\\\vdots&\vdots&\vdots
\end{matrix}[/tex3]
Atalho
Vamos dinamizar um pouco, sabemos que [tex3]\boxed{1020=M\cdot(x+17)}[/tex3]
, vamos supor que [tex3]\boxed{M=10}[/tex3]
, logo [tex3]\boxed{x+17=102\,\,\,\therefore\,\,\,x =85}[/tex3]
(aqui é só um palpite, sabemos que [tex3]85[/tex3]
é a resposta, mas essa é só uma coincidência), conforme o [tex3]\boxed{\uparrow M\equiv\downarrow x}[/tex3]
, note que há palpites que se aproximam de [tex3]\boxed{M=10,x=85}[/tex3]
, então vamos pular os inicias e testar a partir do [tex3]\boxed{k=4}[/tex3]
[tex3]k=4\,\,\,\therefore \,\,\,M=12\,\,\,\therefore \,\,\,x=68[/tex3]
[tex3]1020=M\cdot(x+17)\\1020=12\cdot85\\\boxed{1020=1020}\,\,\,\mbox{Valor encontrado}[/tex3]
O atalho diminui o número de testes pra fazer, o que ajuda bastante, e como sabemos, o número total [tex3]\boxed{T=x+17}[/tex3]
, logo, [tex3]85[/tex3]
já é a resposta propriamente dita.
Resposta
[tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{5}[/tex3]
)
