[tex3]f(x,y)=\frac{x^2}2+y^2\\\implies \vec\bigtriangledown f(x,y)=\left(x,2y\right)\\\implies ||\vec\bigtriangledown f(x,y)||=\sqrt{x^2+4y^2}[/tex3]
Seja [tex3]g(x,y)=||\vec\bigtriangledown f(x,y)||=\sqrt{x^2+4y^2}[/tex3]
.
[tex3]\implies \vec\bigtriangledown g(x,y)=\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+4y^2}},\frac{4y}{\sqrt{x^2+4y^2}}\right)[/tex3]
Queremos então encontrar o máximo de [tex3]g[/tex3]
na circunferência [tex3]x^2+y^2=1[/tex3]
.
Seja [tex3]h(x,y)=x^2+y^2-1[/tex3]
. Dessa formaz podemos dizer que procuramos o máximo de [tex3]g[/tex3]
no conjunto [tex3]B=\{(x,y)\in\mathbb R:h(x,y)=0\}[/tex3]
.
[tex3]\vec\bigtriangledown h(x,y)=(2x,2y)[/tex3]
[tex3]\vec\bigtriangledown h(x,y)=(0,0)\iff (x,y)=(0,0)[/tex3]
, porém [tex3]h(0,0)=-1\ne 0[/tex3]
.
[tex3]\implies \vec\bigtriangledown h(x,y)\ne(0,0),\ \forall(x,y)\in B[/tex3]
Então podemos usar multiplicadores de Lagrange para encontrar os pontos candidatos a mínimo e máximo de [tex3]g[/tex3]
.
Procuramos os pontos em que [tex3]\{\vec\bigtriangledown h,\vec\bigtriangledown g\}[/tex3]
é LD.
[tex3]\implies \det\begin{pmatrix}2x&2y\\\frac{x}{\sqrt{x^2+4y^2}}&\frac{4y}{\sqrt{x^2+4y^2}}\end{pmatrix}=0\\\implies \frac{6xy}{\sqrt{x^2+4y^2}}=0\implies xy=0[/tex3]
Então temos os sistema:
[tex3]\begin{cases}xy=0\implies x=0\ ou\ y=0\\x^2+y^2-1=0\end{cases}[/tex3]
[tex3]x=0\implies y^2=1\implies y=\pm1\\
y=0\implies x^2=1\implies x=\pm1[/tex3]
Então os candidatos são [tex3](0,1),\ (0,-1),\ (1,0),\ (-1,0).[/tex3]
[tex3]g(0,1)=g(0,-1)=\sqrt4=2\\g(1,0)=g(-1,0)=\sqrt1=1[/tex3]
.
Dessa forma, os pontos procurados são [tex3](0,1)[/tex3]
e [tex3](0,-1)[/tex3]
que são os pontos em que [tex3]g[/tex3]
tem maior valor na circunferência.
Espero ter ajudado
.
Saudações.
