Concursos Públicos ⇒ (CPCEM 2015.2) Cálculo Vetorial e Integrais Múltiplas Tópico resolvido

[gabrielluigi]

(Engenheiro da Marinha do Brasil)

Bom dia! Esse é minha primeira postagem no site (procurei pela questão no fórum e não encontrei) então desde já peço desculpas por qualquer erro cometido por mim aqui (acredito estar no tópico correto). A questão é da prova do concurso para o corpo de engenheiros da Marinha brasileira do ano de 2015, segundo semestre.

"Se [tex3]f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}[/tex3]

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[tex3]f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}[/tex3]

é duas vezes derivável e [tex3]u(x,y) = f(x^2-y^2) +f(y^2-x^2)[/tex3]

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[tex3]u(x,y) = f(x^2-y^2) +f(y^2-x^2)[/tex3]

, então o Laplaciano de u, [tex3]u_{xx}(x,y)+u_{yy}(x,y)[/tex3]

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[tex3]u_{xx}(x,y)+u_{yy}(x,y)[/tex3]

é igual a:

(A) [tex3]0[/tex3]

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[tex3]0[/tex3]

(B) [tex3]f''(x^2-y^2)+f''(y^2-x^2)[/tex3]

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[tex3]f''(x^2-y^2)+f''(y^2-x^2)[/tex3]

(C) [tex3]4(x^2+y^2)(f''(x^2-y^2)+f''(y^2-x^2))[/tex3]

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[tex3]4(x^2+y^2)(f''(x^2-y^2)+f''(y^2-x^2))[/tex3]

(D) [tex3]2(f'(x^2-y^2)+f'(y^2-x^2))[/tex3]

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[tex3]2(f'(x^2-y^2)+f'(y^2-x^2))[/tex3]

(E) [tex3]2(x+y)(f'(x^2-y^2)+f'(y^2-x^2))[/tex3]

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[tex3]2(x+y)(f'(x^2-y^2)+f'(y^2-x^2))[/tex3]

Resposta

---

C

Obrigado!

[Planck]

Olá, gabrielluigi.

Primeiramente, vamos a definição do Laplaciano:

Em matemática e física, o Laplaciano ou Operador de Laplace (ou ainda operador de Laplace-Beltrami), denotado por [tex3]\Delta[/tex3]

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[tex3]\Delta[/tex3]

ou [tex3]\nabla^2,[/tex3]

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[tex3]\nabla^2,[/tex3]

sendo o operador nabla, é um operador diferencial de segunda ordem.

O Laplaciano escalar em [tex3]\mathbb R^2[/tex3]

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[tex3]\mathbb R^2[/tex3]

é denotado por:

[tex3]\Delta u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 u}{\partial y^2}[/tex3]

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[tex3]\Delta u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 u}{\partial y^2}[/tex3]

Desse modo, vamos calcular as derivadas parciais de [tex3]u[/tex3]

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[tex3]u[/tex3]

. Primeiro em relação a [tex3]x[/tex3]

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[tex3]x[/tex3]

:

[tex3]\begin{align}

\frac{\partial u}{dx} &= 2x \cdot \(f’(x^2 - y^2) - f’(y^2 - x^2 ) \) \\
\\
\frac{\partial^2u}{dx^2} &= 2\cdot \( 2x^2 (f’’(x^2-y^2) + f’’(y^2 - x^2) )+ f’’(x^2 - y^2) - f’’(y^2 - x^2) \)

\end{align} [/tex3]

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[tex3]\begin{align}

\frac{\partial u}{dx} &= 2x \cdot \(f’(x^2 - y^2) - f’(y^2 - x^2 ) \) \\
\\
\frac{\partial^2u}{dx^2} &= 2\cdot \( 2x^2 (f’’(x^2-y^2) + f’’(y^2 - x^2) )+ f’’(x^2 - y^2) - f’’(y^2 - x^2) \)

\end{align} [/tex3]

Em relação a [tex3]y[/tex3]

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[tex3]y[/tex3]

:

[tex3]\begin{align}

\frac{\partial u}{d} &= 2y \cdot \(f’(y^2 - x^2) - f’(x^2 - y^2 ) \) \\
\\
\frac{\partial^2u}{dy^2} &= 2\cdot \( 2y^2 (f’’(x^2-y^2) + f’’(y^2 - x^2)) - f’’(x^2 - y^2) +f’’(y^2 - x^2) \)

\end{align} [/tex3]

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[tex3]\begin{align}

\frac{\partial u}{d} &= 2y \cdot \(f’(y^2 - x^2) - f’(x^2 - y^2 ) \) \\
\\
\frac{\partial^2u}{dy^2} &= 2\cdot \( 2y^2 (f’’(x^2-y^2) + f’’(y^2 - x^2)) - f’’(x^2 - y^2) +f’’(y^2 - x^2) \)

\end{align} [/tex3]

Somando ambas:

[tex3]\begin{align} &2\cdot \( 2x^2 (f’’(x^2-y^2) + f’’(y^2 - x^2) )+ \cancel{f’’(x^2 - y^2) - f’’(y^2 - x^2)} \)
\\ +\\
& 2\cdot \( 2y^2 (f’’(x^2-y^2) + f’’(y^2 - x^2)) \cancel{- f’’(x^2 - y^2) + f’’(y^2 - x^2)}\)
\\ \\
&2 \cdot (2x^2 + 2y^2)(f’’(x^2 -y^2) + f’’(y^2 - x^2)) \\
\\
\end{align}
[/tex3]

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[tex3]\begin{align} &2\cdot \( 2x^2 (f’’(x^2-y^2) + f’’(y^2 - x^2) )+ \cancel{f’’(x^2 - y^2) - f’’(y^2 - x^2)} \)
\\ +\\
& 2\cdot \( 2y^2 (f’’(x^2-y^2) + f’’(y^2 - x^2)) \cancel{- f’’(x^2 - y^2) + f’’(y^2 - x^2)}\)
\\ \\
&2 \cdot (2x^2 + 2y^2)(f’’(x^2 -y^2) + f’’(y^2 - x^2)) \\
\\
\end{align}
[/tex3]

[tex3]{\color{forestgreen} \boxed{_{_{{⠀}_{⠀}}} {4 \cdot (x^2 + y^2)(f’’(x^2 - y^2) + f’’(y^2 - x^2))
}^{{⠀}^{⠀}} }}[/tex3]

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[tex3]{\color{forestgreen} \boxed{_{_{{⠀}_{⠀}}} {4 \cdot (x^2 + y^2)(f’’(x^2 - y^2) + f’’(y^2 - x^2))
}^{{⠀}^{⠀}} }}[/tex3]

Resumindo:

• Encontre a derivada parcial de primeira ordem, em relação a [tex3]x[/tex3]

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  [tex3]x[/tex3]

  e [tex3]y[/tex3]

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  [tex3]y[/tex3]

  ;
• Encontre a derivada parcial de segunda ordem;
• Some ambas.

Uma questão resolvida sobre a mesma ideia:

Cálculo Vetorial - Questão 16. CP CEM 2012.

[gabrielluigi]

Não entendi como na hora de derivar pela segunda vez, tanto em relação a [tex3]x[/tex3]

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[tex3]x[/tex3]

como em relação a [tex3]y[/tex3]

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[tex3]y[/tex3]

, não precisa acontecer uma regra da cadeia.

Também não havia pensado em considerar a primeira derivada apenas como [tex3]2xf'(x²+y²)[/tex3]

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[tex3]2xf'(x²+y²)[/tex3]

. A função [tex3]f[/tex3]

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[tex3]f[/tex3]

não foi definida. Como posso saber que a derivada é somente isso?

[Planck]

Não entendi como na hora de derivar pela segunda vez, tanto em relação a [tex3]x[/tex3]

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[tex3]x[/tex3]

como em relação a [tex3]y[/tex3]

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[tex3]y[/tex3]

, não precisa acontecer uma regra da cadeia.

Também não havia pensado em considerar a primeira derivada apenas como [tex3]2xf'(x²+y²)[/tex3]

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[tex3]2xf'(x²+y²)[/tex3]

. A função [tex3]f[/tex3]

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[tex3]f[/tex3]

não foi definida. Como posso saber que a derivada é somente isso?

Excelente pergunta. Estou um pouco corrido, mas, vou deixar alguns links com a mesma ideia que utilizei:

ENADE 2011. Questão 22.
https://editora.pucrs.br/Ebooks/Pdf/978 ... 0465-1.pdf

Idem.
https://brainly.com.br/tarefa/3591781


Item 2021. Item 2128. Item 2114.
https://cursos.ime.unicamp.br/disciplin ... da-cadeia/

Item 2.
http://www2.ime.unicamp.br//~ma211/Listas/Lista04.pdf

[gabrielluigi]

Obrigado pelo apoio! Realmente me ajudou bastante!