Concursos PúblicosVolume de sólido de rotação Tópico resolvido

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ANNA2013MARY
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Volume de sólido de rotação

Mensagem não lida por ANNA2013MARY »

O volume de um sólido gerado pela rotação de um triângulo retangulo de catetos 2[tex3]\sqrt{22cm}[/tex3] e [tex3]\sqrt{33cm}[/tex3] , em torno de sua hipotenusa é igual a:

Ver passo a passo por favor!

Gabarito : 88[tex3]\sum_{}^{}[/tex3] [tex3]cm^{2}[/tex3]




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deOliveira
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Jan 2020 14 21:16

Re: Volume de sólido de rotação

Mensagem não lida por deOliveira »

WhatsApp Image 2020-01-14 at 20.50.39.jpeg
WhatsApp Image 2020-01-14 at 20.50.39.jpeg (15.98 KiB) Exibido 372 vezes
Então temos que o sólido é formado por dois cones.
Então:
[tex3]V=V_{cone1}+V_{cone2}\\V=\frac{r^2\cdot\pi\cdot h_1}3+\frac{r^2\cdot\pi\cdot h_2}3\\V=\frac{r^2\cdot\pi}3\cdot(h_1+h_2)[/tex3]
Logo o que precisamos fazer é encontrar a medidas do raio dos cones [tex3]r[/tex3] e a soma das alturas das alturas do [tex3]cone1[/tex3] e do [tex3]cone2[/tex3] , respectivamente, [tex3]h_1[/tex3] e [tex3]h_2[/tex3] que é a medida da hipotenusa.

Vamos começar encontrando a medida da hipotenusa do triângulo. Pelo Teorema de Pitágoras temos que:
[tex3]a^2=(2\sqrt{22})^2+(\sqrt{33})^2\\a^2=4\cdot22+33\\a^2=8\cdot11+3\cdot11\\a^2=11^2\\\boxed{a=11cm}[/tex3]

[tex3]\implies\boxed{h_1+h_2=11cm}[/tex3]

Vamos agora encontrar [tex3]r[/tex3] .
[tex3]r[/tex3] é a altura do triângulo relativa a hipotenusa, então temos que a área do triângulo é
[tex3]A=\frac{11\cdot r}2[/tex3]
Temos também que:
[tex3]A=\frac{2\sqrt{22}\cdot\sqrt{33}}2[/tex3]
Então:
[tex3]\frac{11\cdot r}2=\frac{2\sqrt{22}\cdot\sqrt{33}}2\\11\cdot r=2\sqrt{22\cdot33}\\11\cdot r=2\sqrt{6\cdot11^2}\\11\cdot r=2\cdot11\sqrt6\\\boxed{r=2\sqrt6cm}[/tex3]

Agora temos todas as medidas de que precisamos e podemos calcula o volume.

[tex3]V=\frac{r^2\cdot\pi}3\cdot(h_1+h_2)\\V=\frac{(2\sqrt6)^2\cdot\pi}3\cdot11\\V=\frac{4\cdot6\cdot\pi}3\cdot11\\V=8\cdot\pi\cdot11\\\boxed{V=88cm^3}[/tex3]

Espero ter ajudado :).



Saudações.

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