A. 7.500
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Resposta
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Concursos Públicos ⇒ (IDHTEC) Soma dos Múltiplos Tópico resolvido
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Jan 2020
06
23:20
(IDHTEC) Soma dos Múltiplos
22- Numa sequência dos naturais de 100 a 200, calcule a soma dos múltiplos de 3 ou 4.
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deOliveira 
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Jan 2020
06
23:58
Re: (IDHTEC) Soma dos Múltiplos
Vamos precisar de saber que o n-ésimo termo de uma PA de razão [tex3]r[/tex3]
é dado por [tex3]a_n=a_1+(n-1)r[/tex3]
e que a soma dos [tex3]n[/tex3]
termos da PA é [tex3]S_n=\frac{(a_1+a_n)\cdot n}2[/tex3]
Usando o critério de divisibilidade por [tex3]3[/tex3] temos que entre [tex3]100[/tex3] e [tex3]200[/tex3] o primeiro múltiplo de [tex3]3[/tex3] é o [tex3]102[/tex3] e o último é o [tex3]198[/tex3] .
Agora, temos que os múltiplos de 3 formam uma progressão aritmética com razão [tex3]3[/tex3] em que o [tex3]a_1=102[/tex3] e [tex3]a_n=198[/tex3] , vamos descobrir o valor de [tex3]n[/tex3]
[tex3]a_n=a_1+(n-1)3\\198=102+(n-1)3\\n-1=\frac{96}3\\n=33[/tex3]
Então a soma de todos os múltiplos de [tex3]3[/tex3] de [tex3]100[/tex3] a [tex3]200[/tex3] será
[tex3]T=\frac{(102+198)\cdot33}2=150\cdot33[/tex3] (por enquanto eu não vou fazer a conta, vou fazer só no final porque facilita
)
Vamos fazer a mesma coisa com o [tex3]4[/tex3] .
O primeiro múltiplo de [tex3]4[/tex3] é o [tex3]100[/tex3] e o último é o [tex3]200[/tex3]
[tex3]a_1=100\\a_n=200\\200=100+(n-1)4\\n=26[/tex3]
A soma dos múltiplos de [tex3]4[/tex3] é
[tex3]Q=\frac{(100+200)\cdot26}2=150\cdot26[/tex3]
Agora repare que se simplesmente somarmos [tex3]T+Q[/tex3] os números que são múltiplos de [tex3]3[/tex3] e de [tex3]4[/tex3] , ou seja, múltiplos de [tex3]12[/tex3] estarão sendo somados duas vezes. Então o que precisamos fazer é encontrar também a soma [tex3]D[/tex3] dos múltiplos de [tex3]12[/tex3] entre [tex3]100[/tex3] e [tex3]200[/tex3] e depois o resultado que queremos será [tex3]\boxed{T+Q-D}[/tex3] .
O processo para encontrar [tex3]D[/tex3] é o mesmo que o dos outros dois.
[tex3]a_1=108\\a_n=192\\192=108+(n-1)12\\n=8[/tex3]
Logo:
[tex3]D=\frac{(108+192)\cdot8}2=150\cdot8[/tex3]
Dessa forma:
[tex3]T+Q-D=150\cdot33+150\cdot26-150\cdot8=150(33+26-8)=150\cdot47=\\\boxed{\boxed{7050}}[/tex3]
Espero ter ajudado
.
Usando o critério de divisibilidade por [tex3]3[/tex3] temos que entre [tex3]100[/tex3] e [tex3]200[/tex3] o primeiro múltiplo de [tex3]3[/tex3] é o [tex3]102[/tex3] e o último é o [tex3]198[/tex3] .
Agora, temos que os múltiplos de 3 formam uma progressão aritmética com razão [tex3]3[/tex3] em que o [tex3]a_1=102[/tex3] e [tex3]a_n=198[/tex3] , vamos descobrir o valor de [tex3]n[/tex3]
[tex3]a_n=a_1+(n-1)3\\198=102+(n-1)3\\n-1=\frac{96}3\\n=33[/tex3]
Então a soma de todos os múltiplos de [tex3]3[/tex3] de [tex3]100[/tex3] a [tex3]200[/tex3] será
[tex3]T=\frac{(102+198)\cdot33}2=150\cdot33[/tex3] (por enquanto eu não vou fazer a conta, vou fazer só no final porque facilita
)Vamos fazer a mesma coisa com o [tex3]4[/tex3] .
O primeiro múltiplo de [tex3]4[/tex3] é o [tex3]100[/tex3] e o último é o [tex3]200[/tex3]
[tex3]a_1=100\\a_n=200\\200=100+(n-1)4\\n=26[/tex3]
A soma dos múltiplos de [tex3]4[/tex3] é
[tex3]Q=\frac{(100+200)\cdot26}2=150\cdot26[/tex3]
Agora repare que se simplesmente somarmos [tex3]T+Q[/tex3] os números que são múltiplos de [tex3]3[/tex3] e de [tex3]4[/tex3] , ou seja, múltiplos de [tex3]12[/tex3] estarão sendo somados duas vezes. Então o que precisamos fazer é encontrar também a soma [tex3]D[/tex3] dos múltiplos de [tex3]12[/tex3] entre [tex3]100[/tex3] e [tex3]200[/tex3] e depois o resultado que queremos será [tex3]\boxed{T+Q-D}[/tex3] .
O processo para encontrar [tex3]D[/tex3] é o mesmo que o dos outros dois.
[tex3]a_1=108\\a_n=192\\192=108+(n-1)12\\n=8[/tex3]
Logo:
[tex3]D=\frac{(108+192)\cdot8}2=150\cdot8[/tex3]
Dessa forma:
[tex3]T+Q-D=150\cdot33+150\cdot26-150\cdot8=150(33+26-8)=150\cdot47=\\\boxed{\boxed{7050}}[/tex3]
Espero ter ajudado
.Saudações.
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