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Repare o esquema que montei.
As faces em vermelho, em verde e em azul são as que foram pintadas depois que o cubo de aresta [tex3]3a[/tex3]
foi montado. Se considerarmos que cada cubo pequeno da imagem mede [tex3]a[/tex3]
, teremos, na verdade, um cubo de aresta [tex3]4a[/tex3]
, mas perceba que, se [tex3]n[/tex3]
é o número de cubinhos que compõe a aresta do cubo maior, então:
Sempre existirão 8 cubos com 3 faces pintadas (destacadas em vermelho).
Sempre existirão 12(n-2) cubos com 2 faces pintadas (destacadas em verde).
Sempre existirão 6(n-2)^2 cubos com 1 face pintada (destacadas em azul).
Dessa forma, teremos, no total [tex3]8\cdot3+12(n-2)\cdot2+6(n-2)^2=6n^2[/tex3]
faces pintadas.
No nosso caso, [tex3]n=3[/tex3]
e, portanto, teremos [tex3]6\cdot3^2=54[/tex3]
faces pintadas de preto.
27 cubos possuem [tex3]27\cdot6=162[/tex3]
faces. Se 54 foram pintadas de preto, sobram [tex3]162-54=108[/tex3]
pintadas de branco.