Eu vou responder primeiro a Segunda e a primeira irá vir pelo caminho
Isso se trata de um P.A de Segunda Ordem e existem algumas formas de contar quantos Losangos Pretos há. Eu vou usar a que mais me convém, no caso, vamos dizer que o Número de Losangos Pretos é igual a Todos Losangos menos 2.
Primeiro, como eu disse, é um P.A. de Segunda Ordem, para provar isso, basta ir fazendo a diferença dos termos até que eles se tornem constantes (Vou adicionar mais um termo para ajudar no cálculo):
[tex3]\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(n)=(3,6,10,15\cdots)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Delta(n)=(3,4,5,\cdots)\\\Delta(\Delta(n))=(1,1,\cdots)[/tex3]
Logo, definimos as ordem:
[tex3]\Delta(\Delta(0))=(1,1,\cdots)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Delta(1)=(3,4,5,\cdots)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)=(3,6,10,15\cdots)[/tex3]
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
A Segunda Ordem segue a ideia de que o termo é definido por uma regra geral de grau dois, logo:
[tex3]a_n=\alpha n^2+\beta n+\gamma[/tex3]
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Vamos usar um Sistema para os primeiros 3 Termos:
[tex3]\left\{\begin{matrix}\,\,3={\color{Green}1}\alpha+{\color{Green}1}\beta+\gamma\\\,\,6={\color{Green}4}\alpha+{\color{Green}2}\beta+\gamma\\10={\color{Green}9}\alpha +{\color{Green}4}\beta +\gamma\end{matrix}\right.[/tex3]
Subtraia a Segunda pela Primeira e a Terceira com a Segunda:
[tex3]\left\{\begin{matrix}\,\,3=3\alpha+\beta\\\,\,4=5\alpha+\beta\end{matrix}\right.[/tex3]
Subtraia Segunda pela Primeira
[tex3]\left\{\begin{matrix}\,\,1=2\alpha\\\end{matrix}\right.[/tex3]
Logo temos que:
[tex3]\alpha=\frac12\,\,\,\,\,\,\,\beta=\frac32\,\,\,\,\,\,\,\gamma=1[/tex3]
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Assim, definimos que o último termo é
[tex3]a_n=\alpha n^2+\beta n+\gamma\\a_n=\frac12n^2+\frac32n+1[/tex3]
[tex3]a_n=\frac{n^2+3n+2}{2}[/tex3]
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Lembrando que isso são todos os Losangos, precisamos subtrair dois para obtermos os Losangos Pretos ([tex3]L_p[/tex3]
), logo:
[tex3]L_p =\frac{n^2+3n+2}{2}-2[/tex3]
[tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{L_p =\frac{n^2+3n-2}{2}}[/tex3]
[tex3]\color{MidNightBlue}\mbox{Alternativa A}[/tex3]
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Para responder a Primeira, basta substituir como [tex3]n=7[/tex3]
[tex3]F_7 =\frac{{\color{Green}7}^2+3\cdot{\color{Green}7}-2}{2}[/tex3]
[tex3]F_7=\frac{7(7+3)-2}{2}[/tex3]
[tex3]F_7=\frac{68}{2}[/tex3]
[tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{F_7=34}[/tex3]
[tex3]\color{MidNightBlue}\mbox{Alternativa D}[/tex3]
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ademais, aqui um tópico que eu fiz mais sobre o assunto caso tenha alguma dúvida, pode conferir lá
viewtopic.php?f=3&t=72195
