Concursos PúblicosUEL - 2014 - Sequências Tópico resolvido

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cesarpacheco
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Out 2019 01 18:42

UEL - 2014 - Sequências

Mensagem não lida por cesarpacheco »

UEL - 2014 - Agente Administrativo - Prefeitura de Rolândia.

Leia as informações a seguir e responda às questões 25 e 26.

Em uma praça foi feito um painel constituído por uma sequência de 7 figuras usando losangos brancos
e pretos. As três primeiras figuras da sequência estão representadas a seguir. Em cada nova figura da
sequência, são adicionados losangos, de modo que o primeiro e o último losango da última fila sejam
brancos e todos os outros losangos sejam pretos.
Print.png
Print.png (41 KiB) Exibido 95 vezes
25. Assinale a alternativa que apresenta, corretamente, a quantidade de losangos pretos na Figura 7.
a) 21
b) 26
c) 28
d) 34
e) 36
Gabarito:
Resposta

d
26. Suponha que o procedimento referente à sequência seja realizado n vezes.
Considerando Xn a quantidade de losangos pretos da Figura n, assinale a alternativa que apresenta,
corretamente, a equação que determina o valor de Xn.
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Gabarito:
Resposta

a




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LostWalker
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Out 2019 01 19:23

Re: UEL - 2014 - Sequências

Mensagem não lida por LostWalker »

Eu vou responder primeiro a Segunda e a primeira irá vir pelo caminho

Isso se trata de um P.A de Segunda Ordem e existem algumas formas de contar quantos Losangos Pretos há. Eu vou usar a que mais me convém, no caso, vamos dizer que o Número de Losangos Pretos é igual a Todos Losangos menos 2.

Primeiro, como eu disse, é um P.A. de Segunda Ordem, para provar isso, basta ir fazendo a diferença dos termos até que eles se tornem constantes (Vou adicionar mais um termo para ajudar no cálculo):

[tex3]\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(n)=(3,6,10,15\cdots)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Delta(n)=(3,4,5,\cdots)\\\Delta(\Delta(n))=(1,1,\cdots)[/tex3]

Logo, definimos as ordem:

[tex3]\Delta(\Delta(0))=(1,1,\cdots)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Delta(1)=(3,4,5,\cdots)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)=(3,6,10,15\cdots)[/tex3]

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

A Segunda Ordem segue a ideia de que o termo é definido por uma regra geral de grau dois, logo:

[tex3]a_n=\alpha n^2+\beta n+\gamma[/tex3]

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Vamos usar um Sistema para os primeiros 3 Termos:

[tex3]\left\{\begin{matrix}\,\,3={\color{Green}1}\alpha+{\color{Green}1}\beta+\gamma\\\,\,6={\color{Green}4}\alpha+{\color{Green}2}\beta+\gamma\\10={\color{Green}9}\alpha +{\color{Green}4}\beta +\gamma\end{matrix}\right.[/tex3]

Subtraia a Segunda pela Primeira e a Terceira com a Segunda:

[tex3]\left\{\begin{matrix}\,\,3=3\alpha+\beta\\\,\,4=5\alpha+\beta\end{matrix}\right.[/tex3]

Subtraia Segunda pela Primeira

[tex3]\left\{\begin{matrix}\,\,1=2\alpha\\\end{matrix}\right.[/tex3]


Logo temos que:

[tex3]\alpha=\frac12\,\,\,\,\,\,\,\beta=\frac32\,\,\,\,\,\,\,\gamma=1[/tex3]

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Assim, definimos que o último termo é

[tex3]a_n=\alpha n^2+\beta n+\gamma\\a_n=\frac12n^2+\frac32n+1[/tex3]


[tex3]a_n=\frac{n^2+3n+2}{2}[/tex3]

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Lembrando que isso são todos os Losangos, precisamos subtrair dois para obtermos os Losangos Pretos ([tex3]L_p[/tex3] ), logo:

[tex3]L_p =\frac{n^2+3n+2}{2}-2[/tex3]


[tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{L_p =\frac{n^2+3n-2}{2}}[/tex3]

[tex3]\color{MidNightBlue}\mbox{Alternativa A}[/tex3]

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Para responder a Primeira, basta substituir como [tex3]n=7[/tex3]

[tex3]F_7 =\frac{{\color{Green}7}^2+3\cdot{\color{Green}7}-2}{2}[/tex3]

[tex3]F_7=\frac{7(7+3)-2}{2}[/tex3]

[tex3]F_7=\frac{68}{2}[/tex3]


[tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{F_7=34}[/tex3]

[tex3]\color{MidNightBlue}\mbox{Alternativa D}[/tex3]

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ademais, aqui um tópico que eu fiz mais sobre o assunto caso tenha alguma dúvida, pode conferir lá

viewtopic.php?f=3&t=72195

Última edição: LostWalker (Ter 01 Out, 2019 19:29). Total de 1 vez.


"When the first living thing existed, i was there, waiting. When the last living thing dies, my job will be Finished. I'll put the chairs on the tables, turn out the lights and lock the Universe behind me when i Leave"
-Death, Sandman

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Re: UEL - 2014 - Sequências

Mensagem não lida por cesarpacheco »

Muito obrigado!
Vou dar uma estudada em PA de segunda ordem, apesar de esse ser o primeiro exercício para concursos q eu vejo sobre o tema.
Show seu tópico.




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