Concursos Públicos

A figura seguinte mostra, em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais xOy, em que a unidade de medida é o metro, uma região retangular OABC. O lado OA mede 600 m e o lado OC mede 800 m.

A figura mostra também os pontos F = ponto médio de OA, H = ponto médio de CB, G = centro do retângulo OABC, D = ponto médio de FG, e E = ponto médio de GH. Nos pontos O, A, B, C, D e E foram instalados pontos de acesso à Internet — wi-fi. Nessa configuração, o usuário consegue se conectar à Internet desde que o seu smartphone esteja a 200 m ou menos de qualquer desses pontos de acesso.

Com base nessas informações e na figura apresentada, julgue o próximo item.

g57.png (14.7 KiB) Exibido 1959 vezes

A tangente do ângulo COD é igual a 1,5.

Dúvida:

Eu só consegui resolver um pedaço da questão, depois fiquei em dúvida nessa parte abaixo:

Eu fiz um triângulo ODF e usei as medidas dadas pelo enunciado. Dessa forma cheguei a tg = [tex3]\frac{300}{200}[/tex3] = 1,5

Eu entendo que essa tg = 1,5 se refere ao ângulo que está dentro do triângulo ODF, e não ao ângulo que está dentro do triângulo ODC, que foi o que a questão pediu, porém esse 1,5 já é a resposta final. Na imagem abaixo está mais claro o que quero dizer:

: 6yy.png (16 KiB) Exibido 1959 vezes

Mensagem não lidapor **lookez** » Sex 27 Set, 2019 01:39 · Mensagem não lida por **lookez** » Sex 27 Set, 2019 01:39

Parece que o jeito mais fácil de achar [tex3]\angle ODC[/tex3] é na trigonometria pesada mesmo, ache os lados do [tex3]\triangle ODC[/tex3] com pitágoras e faça lei dos cossenos:

: img.png (33.73 KiB) Exibido 1953 vezes

[tex3]800^2=(100\sqrt{13})^2+(300\sqrt5)^2-2\cdot100\sqrt{13}\cdot300\sqrt5\cos\theta[/tex3]
[tex3]1=-\sqrt{65}\cos\theta[/tex3]
[tex3]\cos\theta=-\frac{1}{\sqrt{65}}[/tex3]

Utilizando a identidade [tex3]1+\tan^2\theta=\sec^2\theta[/tex3] (basta dividir a relação fundamental por [tex3]\cos^2\theta[/tex3] ):

[tex3]\frac{1}{\cos^2\theta}=\frac{1}{\left(-\frac{1}{\sqrt{65}}\right)^2}=65[/tex3]
[tex3]1+\tan^2\theta=65[/tex3]
[tex3]\boxed{\tan\theta=8}[/tex3]

Logo a afirmativa é falsa. Caso quisesse "roubar", da pra ver de cara que a tangente de [tex3]\angle ODC[/tex3] não será 1,5 pois olhando para o desenho [tex3]\angle ODC[/tex3] parece ser próximo de [tex3]90\degree[/tex3] ou maior. Se fosse próximo seria um valor maior do que 1,5 pois a tangente cresce absurdamente tendendo ao infinto conforme se aproxima do ângulo reto, e se fosse maior que [tex3]90\degree[/tex3] a tangente seria negativa.

lookez, muito obrigado! Porém o gabarito é 'certo', ou seja, realmente a tangente do ângulo COD é igual a 1,5.

Mensagem não lidapor **lookez** » Sex 27 Set, 2019 02:45 · Mensagem não lida por **lookez** » Sex 27 Set, 2019 02:45

legislacao escreveu: ↑
Sex 27 Set, 2019 02:36
lookez, muito obrigado! Porém o gabarito é 'certo', ou seja, realmente a tangente do ângulo COD é igual a 1,5.

Mil desculpas, li a afirmativa como se quisessemos saber o ângulo [tex3]\angle ODC[/tex3] , mas na verdade queremos o [tex3]\angle COD[/tex3] . Trace a altura do [tex3]\triangle ODC[/tex3] no vértice [tex3]D[/tex3] e você vai ver que os ângulos [tex3]\angle ODF[/tex3] e [tex3]\angle ODC[/tex3] são iguais, chamados opostos pelo vértice (OPV), logo suas tangentes serão também iguais, e você já encontrou o valor dela. Veja:

: img.png (13.5 KiB) Exibido 1944 vezes

lookez, infelizmente não estou conseguindo visualizar esses ângulos opostos pelo vértice. Eu tentei prolongar as retas para tentar entender, mas só cheguei a isso abaixo:

: 568.png (16.2 KiB) Exibido 1941 vezes

O ângulo oposto ao ODF não deveria ser esse em vermelho?

Mensagem não lidapor **lookez** » Sex 27 Set, 2019 03:17 · Mensagem não lida por **lookez** » Sex 27 Set, 2019 03:17

Talvez você precise dar uma revisada na teoria então, entender ângulos OPV é essencial na geometria, veja:

: opv.jpg (25.75 KiB) Exibido 1938 vezes

Na figura, os ângulos a = b = x = y e c = d são os chamados opostos pelo "vértice" (interseção das retas)

No seu exemplo, esses seriam os ângulos iguais por OPV:

: fig.png (18.08 KiB) Exibido 1938 vezes

Agora veja como [tex3]\angle COD[/tex3] e [tex3]\angle ODF[/tex3] são iguais por OPV, até porque os triângulos [tex3]\triangle ODH[/tex3] e [tex3]\triangle ODF[/tex3] são congruentes, catetos iguais e compartilham a mesma hipotenusa:

: img.png (13.12 KiB) Exibido 1938 vezes

lookez, agora entendi com mais clareza, porém ainda não entendi uma coisa. Se o ângulo que a questão quer saber é o que está em azul na imagem abaixo, como essas relações podem me ajudar? Quero dizer, em relação a ultima imagem que você fez, nenhum desses ângulos em vermelho é o que a questão quer saber, pelo que eu entendi. Veja:

: 445.png (11.02 KiB) Exibido 1928 vezes

Mensagem não lidapor **lookez** » Sex 27 Set, 2019 03:54 · Mensagem não lida por **lookez** » Sex 27 Set, 2019 03:54

legislacao escreveu: ↑
Sex 27 Set, 2019 03:44
lookez, agora entendi com mais clareza, porém ainda não entendi uma coisa. Se o ângulo que a questão quer saber é o que está em azul na imagem abaixo

Como assim o azul? a questão faz uma afirmativa sobre o ângulo [tex3]\angle COD[/tex3] , ou seja, o menor ângulo entre as retas suportes de [tex3]\overline{CO}[/tex3] e [tex3]\overline{OD}[/tex3] no vértice [tex3]D[/tex3] , que é o ângulo circulado em amarelo abaixo, talvez não perceba pois a figura está cortada. O que estou dizendo é que, por OPV, ele será o mesmo ângulo [tex3]\angle ODF[/tex3] , o qual você já achou a tangente que é de fato 1,5. O ângulo azul seria [tex3]\angle CDO[/tex3] ou [tex3]\angle ODC[/tex3] , tome cuidado para não confundir, a letra do meio é sempre o vértice do ângulo.

: img2.png (14.05 KiB) Exibido 1926 vezes

aah sim, eu não sabia que a letra do meio representava o vértice. Uma coisa que eu não entendi é: se o ângulo que a questão pediu é esse que você circulou em amarelo, o ângulo oposto a ele não seria esse que eu coloquei uma seta abaixo? Não entendo como foi possível dizer que o angulo do triangulo OFD está oposto ao ângulo que a questão pediu, pelo que entendi ele está oposto a outro ângulo. Desculpe a pergunta idiota.

: 5hjk.png (10.81 KiB) Exibido 1918 vezes

Mensagem não lidapor **lookez** » Sex 27 Set, 2019 05:01 · Mensagem não lida por **lookez** » Sex 27 Set, 2019 05:01

legislacao escreveu: ↑
Sex 27 Set, 2019 04:52
aah sim, eu não sabia que a letra do meio representava o vértice. Uma coisa que eu não entendi é: se o ângulo que a questão pediu é esse que você circulou em amarelo, o ângulo oposto a ele não seria esse que eu coloquei uma seta abaixo? Não entendo como foi possível dizer que o angulo do triangulo OFD está oposto ao ângulo que a questão pediu, pelo que entendi ele está oposto a outro ângulo. Desculpe a pergunta idiota.

5hjk.png

Os dois ângulos vermelhos OPV de cima e de baixo são iguais por paralelismo, quando uma reta corta duas outras paralelas ela tem a mesma inclinação no vértice de interseção em relação às paralelas, logo corta fazendo os mesmos ângulos. Você está certo, o ângulo oposto seria o indicado, mas como eles se transferem para cima por paralelismo dizemos que são todos iguais por OPV da mesma forma.

Como diz meu professor, não existe pergunta idiota, o idiota é quem não pergunta!

Concursos Públicos ⇒ Valor da tangente do ângulo Tópico resolvido

Valor da tangente do ângulo

Re: Valor da tangente do ângulo

Re: Valor da tangente do ângulo

Re: Valor da tangente do ângulo

Re: Valor da tangente do ângulo

Re: Valor da tangente do ângulo

Re: Valor da tangente do ângulo

Re: Valor da tangente do ângulo

Re: Valor da tangente do ângulo

Re: Valor da tangente do ângulo

Concursos Públicos ⇒ Valor da tangente do ângulo Tópico resolvido

Entrar • Registrar