Concursos Públicos ⇒ (AOCP) Trigonometria Tópico resolvido

[Professor]

Qual é a forma polar (ou trigonométrica) do número complexo [tex3]z=-1-i[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]z=-1-i[/tex3]

?

A) [tex3]\sqrt2[cos(\dfrac{\pi}{4})+isen(\dfrac{\pi}{4})][/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt2[cos(\dfrac{\pi}{4})+isen(\dfrac{\pi}{4})][/tex3]

B) [tex3]\sqrt2[cos(\dfrac{3\pi}{4})+isen(\dfrac{3\pi}{4})][/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt2[cos(\dfrac{3\pi}{4})+isen(\dfrac{3\pi}{4})][/tex3]

C) [tex3]\sqrt2[cos(\dfrac{5\pi}{4})+isen(\dfrac{5\pi}{4})][/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt2[cos(\dfrac{5\pi}{4})+isen(\dfrac{5\pi}{4})][/tex3]

D) [tex3]\sqrt2[cos(\dfrac{\pi}{4})-isen(\dfrac{\pi}{4})][/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt2[cos(\dfrac{\pi}{4})-isen(\dfrac{\pi}{4})][/tex3]

E) [tex3]\sqrt2[-cos(\dfrac{\pi}{4})-isen(\dfrac{\pi}{4})][/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt2[-cos(\dfrac{\pi}{4})-isen(\dfrac{\pi}{4})][/tex3]

Resposta

---

C

[guila100]

lembre o seguinte
cis= coseno i seno
z=|z|(cis)
então

fazendo seu modulo

|z|=[tex3]|z|=\sqrt{a^2+b^2}=-1^2+-1^2= \sqrt{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]|z|=\sqrt{a^2+b^2}=-1^2+-1^2= \sqrt{2}[/tex3]

agora vamo achar o argumento

[tex3]cos(x)=\frac{-1}{\sqrt{2}}=-\sqrt{2}/2 \\sen(x)=-\sqrt{2}/2 [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]cos(x)=\frac{-1}{\sqrt{2}}=-\sqrt{2}/2 \\sen(x)=-\sqrt{2}/2 [/tex3]

os 2 dão iguais agora só saber o quadrante
que seno e cosseno são negativos
que é o 3 quadrante então
cos 45 equivale a 45+180 = 225 = [tex3]\frac{5\pi }{4}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{5\pi }{4}[/tex3]

então

[tex3]z=\sqrt{2}(cos(\frac{5\pi) }{4}+sen(\frac{5\pi }{4})[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]z=\sqrt{2}(cos(\frac{5\pi) }{4}+sen(\frac{5\pi }{4})[/tex3]

[snooplammer]

Todo número complexo pode ser escrito na forma

[tex3]z=|z|(\cos \theta+i\sen\theta)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]z=|z|(\cos \theta+i\sen\theta)[/tex3]

De [tex3]z=-1-i[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]z=-1-i[/tex3]

[tex3]|z|=\sqrt{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]|z|=\sqrt{2}[/tex3]

Basta achar [tex3]\theta[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\theta[/tex3]

[tex3]\tg\theta=\frac{b}{a}=\frac{-1}{-1}=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\tg\theta=\frac{b}{a}=\frac{-1}{-1}=1[/tex3]

[tex3]z[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]z[/tex3]

está no terceiro quadrante, e [tex3]\tg\theta=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\tg\theta=1[/tex3]

Pode usar os arcos côngruos

[tex3]\pi+\theta=x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\pi+\theta=x[/tex3]

[tex3]\theta=45^{\circ}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\theta=45^{\circ}[/tex3]

[tex3]x=\frac{5\pi}{4}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x=\frac{5\pi}{4}[/tex3]

Só concluir

[Professor]

lembre o seguinte
cis= coseno i seno
z=|z|(cis)
então

fazendo seu modulo

|z|=[tex3]|z|=\sqrt{a^2+b^2}=-1^2+-1^2= \sqrt{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]|z|=\sqrt{a^2+b^2}=-1^2+-1^2= \sqrt{2}[/tex3]

agora vamo achar o argumento

[tex3]cos(x)=\frac{-1}{\sqrt{2}}=-\sqrt{2}/2 \\sen(x)=-\sqrt{2}/2 [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]cos(x)=\frac{-1}{\sqrt{2}}=-\sqrt{2}/2 \\sen(x)=-\sqrt{2}/2 [/tex3]

os 2 dão iguais agora só saber o quadrante
que seno e cosseno são negativos
que é o 3 quadrante então
cos 45 equivale a 45+180 = 225 = [tex3]\frac{5\pi }{4}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{5\pi }{4}[/tex3]

então

[tex3]z=\sqrt{2}(cos(\frac{5\pi) }{4}+sen(\frac{5\pi }{4})[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]z=\sqrt{2}(cos(\frac{5\pi) }{4}+sen(\frac{5\pi }{4})[/tex3]

Por qual motivo não pode ser a alternativa E?

[Professor]

Todo número complexo pode ser escrito na forma

[tex3]z=|z|(\cos \theta+i\sen\theta)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]z=|z|(\cos \theta+i\sen\theta)[/tex3]

De [tex3]z=-1-i[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]z=-1-i[/tex3]

[tex3]|z|=\sqrt{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]|z|=\sqrt{2}[/tex3]

Basta achar [tex3]\theta[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\theta[/tex3]

[tex3]\tg\theta=\frac{b}{a}=\frac{-1}{-1}=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\tg\theta=\frac{b}{a}=\frac{-1}{-1}=1[/tex3]

[tex3]z[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]z[/tex3]

está no terceiro quadrante, e [tex3]\tg\theta=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\tg\theta=1[/tex3]

Pode usar os arcos côngruos

[tex3]\pi+\theta=x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\pi+\theta=x[/tex3]

[tex3]\theta=45^{\circ}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\theta=45^{\circ}[/tex3]

[tex3]x=\frac{5\pi}{4}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x=\frac{5\pi}{4}[/tex3]

Só concluir

Por qual motivo não pode ser a alternativa E?

[snooplammer]

Por qual motivo não pode ser a alternativa E?

A letra E é a mesma coisa que

[tex3]-\sqrt{2}\cis\frac{\pi}{4}=\cis\pi \cdot \sqrt{2}\cdot\cis\frac{\pi}{4}=\sqrt{2}\cis\frac{5\pi}{4}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]-\sqrt{2}\cis\frac{\pi}{4}=\cis\pi \cdot \sqrt{2}\cdot\cis\frac{\pi}{4}=\sqrt{2}\cis\frac{5\pi}{4}[/tex3]

Também poderia ser letra E