Concursos Públicos ⇒ (UECE) Matemática Básica Tópico resolvido

[Professor]

Dentre todos os números reais positivos, aquele que somado com o dobro do seu inverso multiplicativo resulta no menor valor possível é
A) [tex3]\dfrac{3\sqrt{6}}{5}[/tex3]

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[tex3]\dfrac{3\sqrt{6}}{5}[/tex3]

B) [tex3]\dfrac{5\sqrt{5}}{8}[/tex3]

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[tex3]\dfrac{5\sqrt{5}}{8}[/tex3]

C) [tex3]\sqrt{2}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{2}[/tex3]

D) [tex3]\sqrt{3}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{3}[/tex3]

Resposta

---

C

[MateusQqMD]

Olá.

Seja [tex3]x[/tex3]

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[tex3]x[/tex3]

esse número. Do enunciado, queremos o valor de [tex3]x[/tex3]

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[tex3]x[/tex3]

que torna mínima a soma [tex3]x + \frac{2}{x}[/tex3]

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[tex3]x + \frac{2}{x}[/tex3]

Pela desigualdade das médias, [tex3]\text{MA } \geq \text{MG}[/tex3]

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[tex3]\text{MA } \geq \text{MG}[/tex3]

, ou seja,

[tex3]\frac{x + \frac{2}{x}}{2} \geq \sqrt{x \cdot \frac{2}{x}}[/tex3]

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[tex3]\frac{x + \frac{2}{x}}{2} \geq \sqrt{x \cdot \frac{2}{x}}[/tex3]

[tex3]x + \frac{2}{x} \geq 2 \sqrt{2}[/tex3]

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[tex3]x + \frac{2}{x} \geq 2 \sqrt{2}[/tex3]

Logo, o valor mínimo ocorre quando [tex3]x + \frac{2}{x} = 2\sqrt{2}[/tex3]

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[tex3]x + \frac{2}{x} = 2\sqrt{2}[/tex3]

, e o valor que torna isso possível é

[tex3]x + \frac{2}{x} = 2\sqrt{2}[/tex3]

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[tex3]x + \frac{2}{x} = 2\sqrt{2}[/tex3]

[tex3]x^2 - 2\sqrt{2} x + 2 = 0 [/tex3]

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[tex3]x^2 - 2\sqrt{2} x + 2 = 0 [/tex3]

[tex3](x-\sqrt{2})^2 = 0 \implies x = \sqrt{2}[/tex3]

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[tex3](x-\sqrt{2})^2 = 0 \implies x = \sqrt{2}[/tex3]

[Professor]

Olá.

Seja [tex3]x[/tex3]

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[tex3]x[/tex3]

esse número. Do enunciado, queremos o valor de [tex3]x[/tex3]

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[tex3]x[/tex3]

que torna mínima a soma [tex3]x + \frac{2}{x}[/tex3]

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[tex3]x + \frac{2}{x}[/tex3]

Pela desigualdade das médias, [tex3]\text{MA } \geq \text{MG}[/tex3]

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[tex3]\text{MA } \geq \text{MG}[/tex3]

, ou seja,

[tex3]\frac{x + \frac{2}{x}}{2} \geq \sqrt{x \cdot \frac{2}{x}}[/tex3]

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[tex3]\frac{x + \frac{2}{x}}{2} \geq \sqrt{x \cdot \frac{2}{x}}[/tex3]

[tex3]x + \frac{2}{x} \geq 2 \sqrt{2}[/tex3]

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[tex3]x + \frac{2}{x} \geq 2 \sqrt{2}[/tex3]

Logo, o valor mínimo ocorre quando [tex3]x + \frac{2}{x} = 2\sqrt{2}[/tex3]

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[tex3]x + \frac{2}{x} = 2\sqrt{2}[/tex3]

, e o valor que torna isso possível é

[tex3]x + \frac{2}{x} = 2\sqrt{2}[/tex3]

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[tex3]x + \frac{2}{x} = 2\sqrt{2}[/tex3]

[tex3]x^2 - 2\sqrt{2} x + 2 = 0 [/tex3]

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[tex3]x^2 - 2\sqrt{2} x + 2 = 0 [/tex3]

[tex3](x-\sqrt{2})^2 = 0 \implies x = \sqrt{2}[/tex3]

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[tex3](x-\sqrt{2})^2 = 0 \implies x = \sqrt{2}[/tex3]

Muitíssimo obrigado.

[MateusQqMD]

Por nada!

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