Concursos Públicos ⇒ (COMPERVE) Equação Representando Idade Tópico resolvido

[Professor]

Um professor de matemática desafiou sua turma a descobrir qual a idade que seu filho estaria completando naquele dia. Para tanto, disse que a idade do filho poderia ser determinada pelo quadrado da solução da expressão [tex3]A=(7+5\sqrt{2})^\frac{1}{3}+(7-5\sqrt{2})^\frac{1}{3}[/tex3]

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[tex3]A=(7+5\sqrt{2})^\frac{1}{3}+(7-5\sqrt{2})^\frac{1}{3}[/tex3]

. A idade que o filho do professor estava completando era

A) 25 anos.
B) 16 anos.
C) 9 anos.
D) 4 anos.

Resposta

---

D

[MateusQqMD]

Olá. Inicialmente, precisamos determinar a solução da equação mostrada. Para isso, sabemos que se [tex3]a + b + c = 0[/tex3]

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[tex3]a + b + c = 0[/tex3]

, então implica que [tex3]a^3 + b^3 + c^3 = 3a b c[/tex3]

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[tex3]a^3 + b^3 + c^3 = 3a b c[/tex3]

Isto é,

[tex3]A= \sqrt[3]{7+5\sqrt{2}} + \sqrt[3]{7-5\sqrt{2}}[/tex3]

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[tex3]A= \sqrt[3]{7+5\sqrt{2}} + \sqrt[3]{7-5\sqrt{2}}[/tex3]

[tex3]A - \sqrt[3]{7+5\sqrt{2}} - \sqrt[3]{7-5\sqrt{2}} = 0[/tex3]

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[tex3]A - \sqrt[3]{7+5\sqrt{2}} - \sqrt[3]{7-5\sqrt{2}} = 0[/tex3]

Daí,

[tex3]A^3 + \(- \sqrt[3]{7+5\sqrt{2}}\)^3 + \(-\sqrt[3]{7-5\sqrt{2}}\)^3 = 3 \cdot A \cdot \( - \sqrt[3]{7+5\sqrt{2}} \) \cdot \( - \sqrt[3]{7-5\sqrt{2}}\)[/tex3]

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[tex3]A^3 + \(- \sqrt[3]{7+5\sqrt{2}}\)^3 + \(-\sqrt[3]{7-5\sqrt{2}}\)^3 = 3 \cdot A \cdot \( - \sqrt[3]{7+5\sqrt{2}} \) \cdot \( - \sqrt[3]{7-5\sqrt{2}}\)[/tex3]

[tex3]A^3 +3A -14 = 0[/tex3]

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[tex3]A^3 +3A -14 = 0[/tex3]

De modo que [tex3]A = 2[/tex3]

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[tex3]A = 2[/tex3]

é a única solução real da equação. A resposta é [tex3]A^2 = 2^2 = 4[/tex3]

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[tex3]A^2 = 2^2 = 4[/tex3]

[MateusQqMD]

Outra solução:

Faça [tex3]a = \sqrt[3]{7+5\sqrt{2}}[/tex3]

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[tex3]a = \sqrt[3]{7+5\sqrt{2}}[/tex3]

e [tex3]b = \sqrt[3]{7-5\sqrt{2}}[/tex3]

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[tex3]b = \sqrt[3]{7-5\sqrt{2}}[/tex3]

, de sorte que [tex3]A = a + b[/tex3]

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[tex3]A = a + b[/tex3]

. Em seguida, use o fato de que [tex3]A^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b) = a^3 + b^3 + 3abA[/tex3]

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[tex3]A^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b) = a^3 + b^3 + 3abA[/tex3]

[Professor]

Outra solução:

Faça [tex3]a = \sqrt[3]{7+5\sqrt{2}}[/tex3]

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[tex3]a = \sqrt[3]{7+5\sqrt{2}}[/tex3]

e [tex3]b = \sqrt[3]{7-5\sqrt{2}}[/tex3]

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[tex3]b = \sqrt[3]{7-5\sqrt{2}}[/tex3]

, de sorte que [tex3]A = a + b[/tex3]

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[tex3]A = a + b[/tex3]

. Em seguida, use o fato de que [tex3]A^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b) = a^3 + b^3 + 3abA[/tex3]

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[tex3]A^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b) = a^3 + b^3 + 3abA[/tex3]

Muito obrigado!

[MateusQqMD]

Por nada

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