Concursos Públicos ⇒ FCC 2019 - Combinatória Tópico resolvido

[rramenzoni]

Uma determinada secretaria municipal conta com dois assessores (A1 e A2) e cinco supervisores (S1, S2, S3, S4 e S5). Deseja-se formar uma comissão formada por quatro membros, pelo menos um dos quais deve ser um assessor e os demais, supervisores. Ainda, se A1 for membro da comissão, S1 não deve ser. Nessas condições, podem ser formadas
A
15 comissões diferentes.
B
30 comissões diferentes.

Resposta

---

C 20 comissões diferentes.

D
44 comissões diferentes.
E
60 comissões diferentes.

Eu calculei o cenário em que o A1 é membro da comissão (10 possibilidades) e o cenário em que A1 não é membro (20 possibilidades). Somei os 2 cenários e cheguei a 30. Qual o erro?

[MateusQqMD]

Olá, rramenzoni

Há [tex3]C_7^4 = \frac{7!}{4!3!} = 35[/tex3]

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[tex3]C_7^4 = \frac{7!}{4!3!} = 35[/tex3]

modos de formarmos uma comissão com quaisquer quatro pessoas. Há [tex3]C_5^4 = \frac{5!}{4!1!} = 5[/tex3]

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[tex3]C_5^4 = \frac{5!}{4!1!} = 5[/tex3]

comissões que possuem apenas supervisoes. As comissões que possuem A₁ e S₁ como integrantes são em número de [tex3]C_5^2 = \frac{5!}{2!3!} = 10[/tex3]

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[tex3]C_5^2 = \frac{5!}{2!3!} = 10[/tex3]

A resposta é [tex3]35 - 5 - 10 = 20[/tex3]

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[tex3]35 - 5 - 10 = 20[/tex3]

[MateusQqMD]

rramenzoni, eu não entendi o que você quis dizer com "o cenário em que A1 não é membro (20 possibilidades)"

Outra solução:

1) A₁ é membro:

[tex3]C_5^3 = \frac{5!}{3!2!} = 10[/tex3]

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[tex3]C_5^3 = \frac{5!}{3!2!} = 10[/tex3]

2) Apenas A₂ é membro entre os assessores:

[tex3]C_5^3 = \frac{5!}{3!2!} = 10[/tex3]

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[tex3]C_5^3 = \frac{5!}{3!2!} = 10[/tex3]

A resposta é [tex3]10 + 10 = 20[/tex3]

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[tex3]10 + 10 = 20[/tex3]

[Planck]

Olá rramenzoni,

Além do método do MateusQqMD, também podemos analisar cada caso individualmente, particularmente, prefiro a forma como o MateusQqMD resolveu. Primeiramente, vamos ter 3 casos. Duas comissões formada por um assessor ([tex3]A1[/tex3] ou [tex3]A2[/tex3]) e três supervisores e uma comissão formada por dois assessores e dois supervisores, logo, vamos analisar individualmente:


- Um assessor [tex3]A1[/tex3] e [tex3]3[/tex3] supervisores

Como foi dito, escolhendo [tex3]A1[/tex3]

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[tex3]A1[/tex3]

não se pode escolher [tex3]S1[/tex3]

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[tex3]S1[/tex3]

, logo, temos uma [tex3]C_{4}^{3}[/tex3]

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[tex3]C_{4}^{3}[/tex3]

, portanto:

[tex3]C_{4}^{{\color{red}3}}=\frac{4!}{3!\cdot 1!}=\boxed4[/tex3]

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[tex3]C_{4}^{{\color{red}3}}=\frac{4!}{3!\cdot 1!}=\boxed4[/tex3]

Ou seja, temos [tex3]4[/tex3]

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[tex3]4[/tex3]

possibilidades iniciais com o assessor [tex3]A1[/tex3]

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[tex3]A1[/tex3]

.


- Um assessor [tex3]A2[/tex3] e [tex3]3[/tex3] supervisores

Como foi dito, escolhendo [tex3]A2[/tex3]

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[tex3]A2[/tex3]

pode escolher livremente os supervisores, logo, temos uma [tex3]C_{5}^{3}[/tex3]

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[tex3]C_{5}^{3}[/tex3]

, portanto:

[tex3]C_{5}^{{\color{red}3}}=\frac{5!}{3!\cdot 2!}=\boxed{10}[/tex3]

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[tex3]C_{5}^{{\color{red}3}}=\frac{5!}{3!\cdot 2!}=\boxed{10}[/tex3]

Isso nos mostra que temos [tex3]10[/tex3]

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[tex3]10[/tex3]

possibilidades com o assessor [tex3]A2[/tex3]

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[tex3]A2[/tex3]

.


- Dois assessores e dois supervisores

Sabendo da limitação ao escolher [tex3]A1[/tex3]

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[tex3]A1[/tex3]

, temos que:
[tex3]C_{4}^{{\color{red}2}}=\frac{4!}{2!\cdot 2!}=\boxed6[/tex3]

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[tex3]C_{4}^{{\color{red}2}}=\frac{4!}{2!\cdot 2!}=\boxed6[/tex3]

Portanto, podemos escolher ou a primeira possibilidade, ou a segunda possibilidade, ou a terceira possibilidade, desse modo, matematicamente:

[tex3]4+10+6=\boxed{20}[/tex3]

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[tex3]4+10+6=\boxed{20}[/tex3]

[rramenzoni]

Boa Planck! é isso ai! clareou!
A 2a solução do Mateus, na minha opinião, está errada quando calcula a combinação que inclui o assessor A1 ignorando a restrição relativa ao supervisor S1. (correto seria combinar 4 3 a 3).
Obrigado aos 2.

[MateusQqMD]

Olá, rramenzoni

Note que as minhas duas soluções estão corretas. No primeira caso há restrição quanto à participação do supervisor S₁, mas não há nada que impeça a participação do outro assessor, A₂. Ou seja, 1 assessor, A₂, e 4 supervisores; S₂, S₃, S₄ e S₅, disponibilizam um total de 5 pessoas possíveis para serem escolhidas. É tudo uma questão de português, por esse motivo o apenas está destacado em negrito na segunda solução.

[rramenzoni]

Mateus, o que você escreve em português não se traduz em linguagem matemática, na segunda solução proposta. Talvez lhe falte didática. Agradeço pela ajuda.