Concursos Públicos ⇒ (CONSULPLAN -2013) Triângulos Tópico resolvido

[rramenzoni]

Como facilitar a resolução?

Na figura a seguir EA = AB = AC = CI = BD = DC; FB = BJ = JI e DJ = JC.

im.jpg (5.22 KiB) Exibido 1659 vezes

Se o quadrado ABDC tem perímetro igual a 144 cm, então a área referente à parte hachurada da figura mede

A) 2556 cm2
B) 2623 cm2
C) 2886 cm2
D) 2916 cm2
E) 2941 cm2

Resposta

---

D

Gostaria de saber por que não é possível aplicar segmentos proporcionais diretamente no triângulo maior (para achar EF com base em AB,EA e EI)
Além disso a solução que eu iniciei caiu numas contas de quadrados não perfeitos; deve haver algo mais inteligente!

[MateusQqMD]

Se o perímetro do quadrado ABDC vale a 144 cm, temos que [tex3]\overline{AB} = \overline{BD} = \overline{DC} = \overline{CA} = 36\ cm[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\overline{AB} = \overline{BD} = \overline{DC} = \overline{CA} = 36\ cm[/tex3]

Note, agora, que
[tex3]\begin{align}

\Delta IAB \sim \Delta IEF\,\,\, & \Rightarrow \,\,\, \frac{\overline{AI}}{\overline{AB}} = \frac{\overline{EI}}{\overline{EF}} \\
\\
& \Rightarrow \,\,\, \frac{72}{36} = \frac{108}{\overline{EF}} \\
\\
& \Rightarrow \,\,\, \overline{EF} = 54\ cm

\end{align}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{align}

\Delta IAB \sim \Delta IEF\,\,\, & \Rightarrow \,\,\, \frac{\overline{AI}}{\overline{AB}} = \frac{\overline{EI}}{\overline{EF}} \\
\\
& \Rightarrow \,\,\, \frac{72}{36} = \frac{108}{\overline{EF}} \\
\\
& \Rightarrow \,\,\, \overline{EF} = 54\ cm

\end{align}[/tex3]

Portanto, [tex3]A(EIF) = \frac{1}{2}\cdot 54 \cdot 108 = 2916\ \text{cm}^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A(EIF) = \frac{1}{2}\cdot 54 \cdot 108 = 2916\ \text{cm}^2[/tex3]

[petras]

MateusQqMD,
[tex3]\mathsf{\Delta IAB \sim \Delta I{\color{red}E}F}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathsf{\Delta IAB \sim \Delta I{\color{red}E}F}[/tex3]

[rramenzoni]

Sabia que o caminho era semelhança de triângulos, mas me embanano nas proporções...Obrigado Mateus e Petras!

[MateusQqMD]

[tex3]\mathsf{\Delta IAB \sim \Delta I{\color{red}E}F}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathsf{\Delta IAB \sim \Delta I{\color{red}E}F}[/tex3]

Verdade, petras, foi um erro de digitação. Já editei minha mensagem anterior, obrigado

[Babi123]

OUTRA SOLUÇÃO:

FB = BJ = JI e DJ = JC

Pitágoras em [tex3]\triangle JDB[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\triangle JDB[/tex3]

:
[tex3]\boxed{x^2=36^2+18^2}[/tex3]

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[tex3]\boxed{x^2=36^2+18^2}[/tex3]

Pitágoras em [tex3]\triangle BKF[/tex3]

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[tex3]\triangle BKF[/tex3]

, sendo [tex3]KF=y[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]KF=y[/tex3]

:
[tex3]x^2=36^2+y^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^2=36^2+y^2[/tex3]

. Substituindo o valor de [tex3]x^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^2[/tex3]

da equação acima:
[tex3]36^2+18^2=36^2+y^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]36^2+18^2=36^2+y^2[/tex3]

. Fazendo os cancelamentos:
[tex3]y^2=18^2\\
\boxed{\boxed{y=18}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y^2=18^2\\
\boxed{\boxed{y=18}}[/tex3]

Portanto, a área do triângulo sombreado, será:
[tex3]A=\frac{54\cdot108}{2}\\
\boxed{\boxed{A=2916\ cm^2}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A=\frac{54\cdot108}{2}\\
\boxed{\boxed{A=2916\ cm^2}}[/tex3]

1.png (12.59 KiB) Exibido 1603 vezes