Concursos Públicos ⇒ Auxiliar Judiciário - TRE - triângulo retângulo Tópico resolvido

[paulo testoni]

Os catetos do triângulo ABC, retângulo em Â, medem AB = 24 cm e AC = 18 cm. O cateto maior AB foi dividido em 4 partes iguais pelos pontos P, Q e R, e estes pontos foram ligados ao ponto C, como mostra a figura abaixo. Calculamos o razão entre a área e o perímetro para cada um dos seguintes triângulos: ACP, PCQ, QCR, RCB. A menor razão encontrada foi:

tri.gif (10.47 KiB) Exibido 1979 vezes

a) [tex3]1,5(2-\sqrt2)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]1,5(2-\sqrt2)[/tex3]

b)[tex3]1,5(4 -\sqrt10)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]1,5(4 -\sqrt10)[/tex3]

c) [tex3]0,67(2+\sqrt2)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]0,67(2+\sqrt2)[/tex3]

d) [tex3]6(4+\sqrt10)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]6(4+\sqrt10)[/tex3]

e) 54

[jvmago]

todos os 4 triangulos tem a mesma área, então basta pegar o menor triangulo [tex3]APC[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]APC[/tex3]

calcular seu perimetro e pimba!

[paulo testoni]

Hola jvmago.

Isso a maioria já sabia. Quando colocamos algum exercício aqui é porque desejamos ver a solução. Às vezes acontece também que sabemos resolvê-lo mas desejamos ver uma outra forma de resolução. Alguns não sabem resolver e aguardam ver o execício resolvido. Sendo assim vc jvmago nada agregou nessa sua colocação.

[MatheusBorges]

Vou deixar um pouco mais explicado, caro Paulo. Tenho certeza que o Mago, não fez por mal. É culpa do lumbreras hahahaha
Os [tex3]\triangle ACP, \triangle PCB, \triangle QCR, \triangle RCB[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\triangle ACP, \triangle PCB, \triangle QCR, \triangle RCB[/tex3]

são equivalentes, pois possuem base e altura de mesma medida, isto é, têm a mesma área. O intuito é maximizar a razão e o numerador é uma "constante", basta jogarmos o menor numerador para o valor da razão ser o maior possível, ou seja, é necessário o menor perímetro.
Assim tem duas formas de matar o problema. A primeira é sair aplicando Pitágoras e despois ver o perímetro de cada triângulo, que é a mais deselegante. E a outra é usar a desigualdade triangular.
[tex3]\overline{AP}\equiv\overline{PQ}\equiv\overline{QR}\equiv\overline{RB}=\frac{24}{6}=4 [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\overline{AP}\equiv\overline{PQ}\equiv\overline{QR}\equiv\overline{RB}=\frac{24}{6}=4 [/tex3]

E
[tex3]\overline{CP} < \overline{CQ}, \overline{CR}, \overline{CB} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\overline{CP} < \overline{CQ}, \overline{CR}, \overline{CB} [/tex3]

Pois em um triângulo o maior ângulo, aponta sempre para o maior lado. E os ângulos [tex3]C\hat PQ, C\hat QR, C\hat RB[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]C\hat PQ, C\hat QR, C\hat RB[/tex3]

, são obtusos. Isso é fácil de se ver devido o teorema do ângulo externo (Repare o ângulo reto).
Por último
[tex3]\overline{AC}<\overline{CP}, \overline{CQ}, \overline{CR}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\overline{AC}<\overline{CP}, \overline{CQ}, \overline{CR}[/tex3]

, já que um cateto é sempre menor que a hipotenusa em um triângulo retângulo. Ou podes ver também que [tex3]A\hat P C[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A\hat P C[/tex3]

é menor que 90, cai na explicação já supracitada.
Logo
[tex3]S\triangle ACP=\frac{b. h}{2}=\frac{6. 18}{2}=54\\
2p=\overline{AP}+\overline{AC}+\overline{CP}=6+18+\sqrt{6^{2}+18^{2}}=\\
=6 (4+\sqrt{10})\\
k=\frac{9. 6}{9. (4+\sqrt{10})}=1, 5 (4-\sqrt{10})[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]S\triangle ACP=\frac{b. h}{2}=\frac{6. 18}{2}=54\\
2p=\overline{AP}+\overline{AC}+\overline{CP}=6+18+\sqrt{6^{2}+18^{2}}=\\
=6 (4+\sqrt{10})\\
k=\frac{9. 6}{9. (4+\sqrt{10})}=1, 5 (4-\sqrt{10})[/tex3]

Letra b)
Bons estudos, galera.

[jvmago]

Hola jvmago.

Isso a maioria já sabia. Quando colocamos algum exercício aqui é porque desejamos ver a solução. Às vezes acontece também que sabemos resolvê-lo mas desejamos ver uma outra forma de resolução. Alguns não sabem resolver e aguardam ver o execício resolvido. Sendo assim vc jvmago nada agregou nessa sua colocação.

Perdoai minha pressa, realmente não fiz por mal!!

[jvmago]

Vou deixar um pouco mais explicado, caro Paulo. Tenho certeza que o Mago, não fez por mal. É culpa do lumbreras hahahaha
Os [tex3]\triangle ACP, \triangle PCB, \triangle QCR, \triangle RCB[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\triangle ACP, \triangle PCB, \triangle QCR, \triangle RCB[/tex3]

são equivalentes, pois possuem base e altura de mesma medida, isto é, têm a mesma área. O intuito é maximizar a razão e o numerador é uma "constante", basta jogarmos o menor numerador para o valor da razão ser o maior possível, ou seja, é necessário o menor perímetro.
Assim tem duas formas de matar o problema. A primeira é sair aplicando Pitágoras e despois ver o perímetro de cada triângulo, que é a mais deselegante. E a outra é usar a desigualdade triangular.
[tex3]\overline{AP}\equiv\overline{PQ}\equiv\overline{QR}\equiv\overline{RB}=\frac{24}{6}=4 [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\overline{AP}\equiv\overline{PQ}\equiv\overline{QR}\equiv\overline{RB}=\frac{24}{6}=4 [/tex3]

E
[tex3]\overline{CP} < \overline{CQ}, \overline{CR}, \overline{CB} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\overline{CP} < \overline{CQ}, \overline{CR}, \overline{CB} [/tex3]

Pois em um triângulo o maior ângulo, aponta sempre para o maior lado. E os ângulos [tex3]C\hat PQ, C\hat QR, C\hat RB[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]C\hat PQ, C\hat QR, C\hat RB[/tex3]

, são obtusos. Isso é fácil de se ver devido o teorema do ângulo externo (Repare o ângulo reto).
Por último
[tex3]\overline{AC}<\overline{CP}, \overline{CQ}, \overline{CR}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\overline{AC}<\overline{CP}, \overline{CQ}, \overline{CR}[/tex3]

, já que um cateto é sempre menor que a hipotenusa em um triângulo retângulo. Ou podes ver também que [tex3]A\hat P C[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A\hat P C[/tex3]

é menor que 90, cai na explicação já supracitada.
Logo
[tex3]S\triangle ACP=\frac{b. h}{2}=\frac{6. 18}{2}=54\\
2p=\overline{AP}+\overline{AC}+\overline{CP}=6+18+\sqrt{6^{2}+18^{2}}=\\
=6 (4+\sqrt{10})\\
k=\frac{9. 6}{9. (4+\sqrt{10})}=1, 5 (4-\sqrt{10})[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]S\triangle ACP=\frac{b. h}{2}=\frac{6. 18}{2}=54\\
2p=\overline{AP}+\overline{AC}+\overline{CP}=6+18+\sqrt{6^{2}+18^{2}}=\\
=6 (4+\sqrt{10})\\
k=\frac{9. 6}{9. (4+\sqrt{10})}=1, 5 (4-\sqrt{10})[/tex3]

Letra b)
Bons estudos, galera.

Saudades de estudar meu livrinho peruano mas, a física não me deixa ;-;

[snooplammer]

Física nos livros peruanos é bom também, mas dizem que nos livros indianos, a qualidade é surpreendente

[snooplammer]

jvmago, física nos livros peruanos é bom também, mas dizem que nos livros indianos, a qualidade é surpreendente

[jvmago]

Fisica peruana e indiana ainda não é para mim, estou embasando com Tópicos e com o fisica classica primeiro! Provavelmente sobrando tempo passo por eles mas, vai levar aquele time broken

[paulo testoni]

Hola jvmago.

Isso a maioria já sabia. Quando colocamos algum exercício aqui é porque desejamos ver a solução. Às vezes acontece também que sabemos resolvê-lo mas desejamos ver uma outra forma de resolução. Alguns não sabem resolver e aguardam ver o execício resolvido. Sendo assim vc jvmago nada agregou nessa sua colocação.

Perdoai minha pressa, realmente não fiz por mal!!

Claro que eu perdoo e aproveito para lhe desejar um ótimo Natal e um Ano Novo melhor ainda.