Concursos Públicos ⇒ Geometria Plana - Circunferência Inscrita no Losango Tópico resolvido

[carlosalves10]

Num losango cujo lado mede 25 cm o raio da circunferência inscrita mede 12 cm. A diagonal maior desse losango, em cm, mede:

a) ( ) 36
b) ( ) 40
c) ( ) 30
d) ( ) 38

[csmarcelo]

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A resposta correta é, na verdade, 40.

[tex3]a+b=25\therefore b=25-a[/tex3]

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[tex3]a+b=25\therefore b=25-a[/tex3]

Das relações métricas no triângulo retângulo:

[tex3]ab=m\(\overline{EF}\)^2[/tex3]

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[tex3]ab=m\(\overline{EF}\)^2[/tex3]

Daí,

[tex3]a(25-a)=144\rightarrow\begin{cases}a=9,b=16\\a=16,b=9\end{cases}[/tex3]

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[tex3]a(25-a)=144\rightarrow\begin{cases}a=9,b=16\\a=16,b=9\end{cases}[/tex3]

Faremos [tex3]a=9,b=16[/tex3]

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[tex3]a=9,b=16[/tex3]

para condizer com o desenho.

Novamente, das relações métricas no triângulo retângulo:

[tex3]m\(\overline{AB}\)\cdot b=m\(\overline{EB}\)^2[/tex3]

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[tex3]m\(\overline{AB}\)\cdot b=m\(\overline{EB}\)^2[/tex3]

OBS: repare que escolhi o maior segmento, pois este, obviamente, nos dará o maior cateto.

Logo,

[tex3]m\(\overline{EB}\)=20[/tex3]

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[tex3]m\(\overline{EB}\)=20[/tex3]

Como, no losango, as diagonais encontram-se em seus pontos médios, [tex3]m\(\overline{DB}\)=2\cdot20=40[/tex3]

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[tex3]m\(\overline{DB}\)=2\cdot20=40[/tex3]