Concursos Públicos ⇒ Geometria Plana - Trapézio e Triângulo Tópico resolvido

[carlosalves10]

O trapézio ABCD representado na figura é isósceles e tem as bases medindo 8 e 4 centímetros.

Sabendo-se que as medidas dos lados não paralelos do trapézio correspondem a 1,5 da medida da sua menor base, a área da superfície plana delimitada pelo triângulo de vértices ADC, em centímetros quadrados, é:

(A) 4 √2
(B) 8 √2
(C) 12 √2
(D) 16 √2
(E) 20 √2

[Killin]

Como o trapézio é isósceles, ao projetar AB sobre DC haverá uma certa simetria, sendo A' e B' os pontos projetados em DC, devido à simetria, DA' = B'C = 2 cm. Aplicando Pitágoras em DA'A -> [tex3]h=4\sqrt{2}[/tex3]

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[tex3]h=4\sqrt{2}[/tex3]

, então a área do triângulo pedido será [tex3]\frac{8 \cdot 4\sqrt{2}}{2}=16\sqrt{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{8 \cdot 4\sqrt{2}}{2}=16\sqrt{2}[/tex3]

[GustavoSG]

dfqDFA.png (19.97 KiB) Exibido 1708 vezes

Baixando a alturas BF e AE do trapézio, podemos perceber que DE = FC = (8-4)/2 = 2, até porque os triangulos DEA e BFC são congruentes por LAL. Aplicando Pitágoras em BFC, obtemos : BF = √36-4 = 4√2. Veja que os triângulos ABG E GFC são semelhantes por AA , assim GF/ GB = 2/4=1/2. Portanto, como GF+GB = 4√2, temos que GF = 4/3 . √2. Assim, A (GFC) = 4/3.√2 . 2 /2 = 4/3.√2. Como AE e FB são paralelos , os triângulos AEC e GFC são semelhantes com razão (2+4)/2 = 3. Logo, A (AEC) = A(GFC) . 3^2 = 12√2. Agora, basta calcular A(ADE) = 2. 4√2/2 = 4√2. Portanto, A(ADC) = A(ADE) +A (AEC) = 12√2 + 4√2 = 16√2.

[carlosalves10]

Como assim aplicando Pitágoras em DA'A ->[tex3]h=4\sqrt{2}[/tex3]

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[tex3]h=4\sqrt{2}[/tex3]

?

[Killin]

Como assim aplicando Pitágoras em DA'A ->

Triângulo retângulo de hipotenusa 4*1,5 = 6 e catetos 2 e o outro h. [tex3]\to h^2+2^2=6^2 \to h=4\sqrt{2}[/tex3]

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[tex3]\to h^2+2^2=6^2 \to h=4\sqrt{2}[/tex3]