Concursos Públicos ⇒ Análise Combinatória Tópico resolvido

[carlosalves10]

Quatro irmãos saem para ir ao cinema com mais três amigos. Ao chegarem na sala do cinema, os irmãos e os três amigos percebem que existe exatamente uma fila, com sete poltronas lado a lado, para que pudessem se sentar. No entanto, uma única condição é imposta: os irmãos não poderiam sentar-se todos um ao lado do outro nas poltronas disponíveis.
Assim, a quantidade de formas distintas que os irmãos e os três amigos podem se sentar, respeitando a condição imposta, é igual a

A) 96.
B) 576.
C) 4 464.
D) 5 040.

[AlguémMeHelp]

e ae, cara! blz? Nesse tipo de exercício é mais fácil pensar em contra-exemplos do que o que lhe é pedido: é mais fácil calcular a quantidade de situações em que os irmãos estão juntos do que calcular as situações em que eles são separados pelos amigos (afinal, são 4464 casos kkkk). Com esse raciocínio, calcula-se o total de possibilidades (sem restrição) e subtrai-se a quantidade de contra-exemplos, fornecendo-lhe a quantidade de casos em que os irmãos estão separados. Resumindo:

[tex3]Total\:-\:Irmãos_{juntos}\:=\:Irmãos_{separados}[/tex3]

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[tex3]Total\:-\:Irmãos_{juntos}\:=\:Irmãos_{separados}[/tex3]

, certo?

1) O total é calculado por 7!; isso embaralharia os indivíduos na ordem que for: 7! = 5040;

2) Quanto aos irmãos juntos, vamos fazer por PFC e um pouco de permutação: _ _ _ _ _ _ _ estes são os 7 lugares. Suponha que os 4 primeiros sejam os irmãos juntos; eles podem permutar entre si 4! , enquanto os três últimos lugares podem ser ocupados pelos amigos 3!. |_ _ _ _| _ _ _ . Porém, perceba o "bloco" dos irmãos juntos pode ser deslocado entre as fileiras dando 4 situações: |_ _ _ _ | _ _ _ , _ | _ _ _ _ | _ _ , _ _ | _ _ _ _ | _ e _ _ _ | _ _ _ _ |. Pelo PFC, basta multiplicar tudo: 4! x 3! x 4 = 576 casos;

3) agora basta calcular os "irmãos separados" pela subtração afirmada no início: 5040 - 576 = 4 464 casos ---> Gaba C)

[MateusQqMD]

Olá, Carlos

Há 7 lugares disponíveis para colocarmos 7 pessoas, ou seja, há [tex3]7![/tex3]

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[tex3]7![/tex3]

formas de fazermos isso. Mas essa contagem inclui, de forma errada, os casos em que os irmãos estão todos um ao lado do outro. Considerando os 4 irmãos como um único bloco, há [tex3]4![/tex3]

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[tex3]4![/tex3]

formas de permutar o bloco que constitui os irmãos e os 3 amigos. Além disso, é possível, também, permutar a ordem dos irmãos dentro do bloco de [tex3]4![/tex3]

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[tex3]4![/tex3]

formas, pois há 4 irmãos

A resposta é [tex3]7! - 4!\cdot 4! = 4464[/tex3]

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[tex3]7! - 4!\cdot 4! = 4464[/tex3]