Concursos PúblicosLogaritmo Tópico resolvido

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carlosalves10
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Dez 2018 05 01:01

Logaritmo

Mensagem não lida por carlosalves10 » Qua 05 Dez, 2018 01:01

A lei de resfriamento de Newton afirma que a diferença de temperatura entre um corpo e o meio que o contém decresce a uma taxa de variação proporcional à diferença de temperatura.
Considerando ΔT0 a diferença de temperatura no instante t = 0 e ΔT(t), a diferença em um instante t qualquer, essa lei se traduz pela expressão
ΔT(t) = ΔT0.e^-kt, em que a constante k depende do corpo. Suponha que, em uma cozinha, cuja temperatura ambiente constante é de 30ºC, um bolo é retirado do forno e colocado sobre a pia. Nesse momento, a temperatura do bolo é de 100ºC. Após 5 minutos, verifica-se a temperatura do bolo e o termômetro marca 65ºC. Se o bolo estiver no ponto para servir quando sua temperatura atingir 37ºC, depois de quanto tempo, a partir do momento em que foi colocado sobre a pia, ele estará pronto para ser servido?

Ficou um pouco estranho, mas é ΔT0.e... esse é é elevado a -kt


(Considere log 2 = 0,3.)

(A) 14 min 08 s
(B) 14 min 14 s
(C) 16 min 40 s
(D) 16 min 06 s
(E) 20 min 10 s




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AlguémMeHelp
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Dez 2018 07 15:10

Re: Logaritmo

Mensagem não lida por AlguémMeHelp » Sex 07 Dez, 2018 15:10

E ae, cara! blz?? respondi outro tópico teu sobre geometria espacial, não sei se vc já viu lá, mas se tiver dúvida, comenta lá pf, e se tiver tudo ok, dá aquele feedback positivo com o "agradeceu", mano, pra gnt continuar motivado a responder as dúvidas aqui do fórum, ble??

Essa questão tem cara de cespe kkkk é deles?? já caiu umas várias parecidas com essa no vestibular da UnB! Vamos separar a resolução em 3 etapas de acordo com o que nos é fornecido, ok?

1) [tex3]\Delta T_{0}[/tex3] é a diferença de temperatura inicial, ou sejal, quando [tex3]t\:=\:0\:minutos[/tex3] ; essa situação corresponde ao momento em que o indivíduo tira o bolo do forno e o coloca sobre a pia. Segundo o enunciado, a temperatura ambiente é de 30°C e a do bolo é de 100°C. Logo, a diferença de temperatura é 100°C - 30°C => [tex3]\Delta T_{0}\:=\:70°C[/tex3] ; a função que ele forneceu fica, até o exato momento, deste jeito: [tex3]\Delta T_{(t)}\:=\:70\cdot e^{-kt}[/tex3] .

2) Em seguida, o examinador diz que após 5 minutos o bolo tinha temperatura exata de 65°C, enquanto o ambiente permance com os mesmos 30°C iniciais; perceba que subtendido está sendo fornecido a diferença de temperatura entre o bolo e o ambiente no tempo t = 5 minutos: [tex3]\Delta T_{(5)}\:=\:65°C\:-\:30°C\:=\:35°C[/tex3] . Se vc tem em mãos o [tex3]\Delta T[/tex3] no instante em que t = 5, tem o [tex3]\Delta T_{0}[/tex3] , com isso basta encontrar o valor da constante k. Vamos inserir os dados na função: [tex3]\Delta T_{(5)}\:=\:35\:=\:70\cdot e^{-k\cdot 5}\rightarrow \:\:e^{-5\cdot k}\:=\:\frac{1}{2}[/tex3] . Tirando o logatmo neperiano de ambos os lados: [tex3]\ln e^{-5\cdot k}\:=\:\ln 2^{-1}\rightarrow \:\:-5\cdot k\:=\:-\ln2\;\;\;\;\;\;\therefore\:\:k\:=\:\frac{\ln 2}{5}[/tex3] .

3) Na última situação, o examinador fornece que a temperatura ideal para se servir é de 37°C. Como o ambiente permance com os mesmo 30°C, pode-se calcular o valor de [tex3]\Delta T_{(t)}\:=\:37°C\:-\:30°C\:=\:7°C[/tex3] no tempo "t" a ser descoberto. Jogando os valores, novamente, na função, mas agora tendo em mãos o valor de "k":
[tex3]\Delta T_{(t)}\:=\:7\:=\:70\cdot e^{-\frac{\ln 2}{5}\cdot t}\;\;\;\rightarrow \:\frac{1}{10}\:=\:e^{-\frac{\ln 2}{5}\cdot t}\:(i)[/tex3] ; não sei se conhece mas há aquela propriedade do logaritmo em que se pode fazer [tex3]a^{\\log _{a}L}\:=\:L[/tex3] , tal como aparece na equação acima: [tex3]e^{-\frac{\ln 2}{5}\cdot t}[/tex3] , mas temos de ajeitar o logaritmo do expoente aí para que possa dar certo!!

[tex3]e^{-\frac{\ln 2}{5}\cdot t}\:=\:e^{\ln 2^{-\frac{t}{5}}}[/tex3] ; aplicando a propriedade: [tex3]e^{-\frac{\ln 2}{5}\cdot t}\:=\:2^{-\frac{t}{5}}\:(ii)[/tex3]

Jogando [tex3](ii)[/tex3] na equação [tex3](i)[/tex3] :

[tex3]\frac{1}{10}\:=\:2^{-\frac{t}{5}}[/tex3] . Tirando log (base 10!!) dos dois lados:

[tex3]\log_{10}(\frac{1}{10})\:=\:\log_{10}\:(2^{-\frac{t}{5}})\;\;\rightarrow \;\;-1\:=\:-\frac{t}{5}\cdot\:\log_{10}2\;\;\rightarrow t\:=\:\frac{5}{\log_{10}2}[/tex3] . Sendo log 2 = 0.3 [tex3]\therefore\:t\:=\:\frac{50}{3}\:minutos\:=\:16\:minutos\:e\:40\:segundos.[/tex3]

Espero que ajude, mano!! Dá aquele feedback se tiver dúvida ou se tiver compreendido bem! :D




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