A lei de resfriamento de Newton afirma que a diferença de temperatura entre um corpo e o meio que o contém decresce a uma taxa de variação proporcional à diferença de temperatura.
Considerando ΔT0 a diferença de temperatura no instante t = 0 e ΔT(t), a diferença em um instante t qualquer, essa lei se traduz pela expressão
ΔT(t) = ΔT0.e^-kt, em que a constante k depende do corpo. Suponha que, em uma cozinha, cuja temperatura ambiente constante é de 30ºC, um bolo é retirado do forno e colocado sobre a pia. Nesse momento, a temperatura do bolo é de 100ºC. Após 5 minutos, verifica-se a temperatura do bolo e o termômetro marca 65ºC. Se o bolo estiver no ponto para servir quando sua temperatura atingir 37ºC, depois de quanto tempo, a partir do momento em que foi colocado sobre a pia, ele estará pronto para ser servido?
Ficou um pouco estranho, mas é ΔT0.e... esse é é elevado a -kt
(Considere log 2 = 0,3.)
(A) 14 min 08 s
(B) 14 min 14 s
(C) 16 min 40 s
(D) 16 min 06 s
(E) 20 min 10 s
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Concursos Públicos ⇒ Logaritmo Tópico resolvido
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carlosalves10
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AlguémMeHelp
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Dez 2018
07
15:10
Re: Logaritmo
E ae, cara! blz?? respondi outro tópico teu sobre geometria espacial, não sei se vc já viu lá, mas se tiver dúvida, comenta lá pf, e se tiver tudo ok, dá aquele feedback positivo com o "agradeceu", mano, pra gnt continuar motivado a responder as dúvidas aqui do fórum, ble??
Essa questão tem cara de cespe kkkk é deles?? já caiu umas várias parecidas com essa no vestibular da UnB! Vamos separar a resolução em 3 etapas de acordo com o que nos é fornecido, ok?
1) [tex3]\Delta T_{0}[/tex3] é a diferença de temperatura inicial, ou sejal, quando [tex3]t\:=\:0\:minutos[/tex3] ; essa situação corresponde ao momento em que o indivíduo tira o bolo do forno e o coloca sobre a pia. Segundo o enunciado, a temperatura ambiente é de 30°C e a do bolo é de 100°C. Logo, a diferença de temperatura é 100°C - 30°C => [tex3]\Delta T_{0}\:=\:70°C[/tex3] ; a função que ele forneceu fica, até o exato momento, deste jeito: [tex3]\Delta T_{(t)}\:=\:70\cdot e^{-kt}[/tex3] .
2) Em seguida, o examinador diz que após 5 minutos o bolo tinha temperatura exata de 65°C, enquanto o ambiente permance com os mesmos 30°C iniciais; perceba que subtendido está sendo fornecido a diferença de temperatura entre o bolo e o ambiente no tempo t = 5 minutos: [tex3]\Delta T_{(5)}\:=\:65°C\:-\:30°C\:=\:35°C[/tex3] . Se vc tem em mãos o [tex3]\Delta T[/tex3] no instante em que t = 5, tem o [tex3]\Delta T_{0}[/tex3] , com isso basta encontrar o valor da constante k. Vamos inserir os dados na função: [tex3]\Delta T_{(5)}\:=\:35\:=\:70\cdot e^{-k\cdot 5}\rightarrow \:\:e^{-5\cdot k}\:=\:\frac{1}{2}[/tex3] . Tirando o logatmo neperiano de ambos os lados: [tex3]\ln e^{-5\cdot k}\:=\:\ln 2^{-1}\rightarrow \:\:-5\cdot k\:=\:-\ln2\;\;\;\;\;\;\therefore\:\:k\:=\:\frac{\ln 2}{5}[/tex3] .
3) Na última situação, o examinador fornece que a temperatura ideal para se servir é de 37°C. Como o ambiente permance com os mesmo 30°C, pode-se calcular o valor de [tex3]\Delta T_{(t)}\:=\:37°C\:-\:30°C\:=\:7°C[/tex3] no tempo "t" a ser descoberto. Jogando os valores, novamente, na função, mas agora tendo em mãos o valor de "k":
[tex3]\Delta T_{(t)}\:=\:7\:=\:70\cdot e^{-\frac{\ln 2}{5}\cdot t}\;\;\;\rightarrow \:\frac{1}{10}\:=\:e^{-\frac{\ln 2}{5}\cdot t}\:(i)[/tex3] ; não sei se conhece mas há aquela propriedade do logaritmo em que se pode fazer [tex3]a^{\\log _{a}L}\:=\:L[/tex3] , tal como aparece na equação acima: [tex3]e^{-\frac{\ln 2}{5}\cdot t}[/tex3] , mas temos de ajeitar o logaritmo do expoente aí para que possa dar certo!!
[tex3]e^{-\frac{\ln 2}{5}\cdot t}\:=\:e^{\ln 2^{-\frac{t}{5}}}[/tex3] ; aplicando a propriedade: [tex3]e^{-\frac{\ln 2}{5}\cdot t}\:=\:2^{-\frac{t}{5}}\:(ii)[/tex3]
Jogando [tex3](ii)[/tex3] na equação [tex3](i)[/tex3] :
[tex3]\frac{1}{10}\:=\:2^{-\frac{t}{5}}[/tex3] . Tirando log (base 10!!) dos dois lados:
[tex3]\log_{10}(\frac{1}{10})\:=\:\log_{10}\:(2^{-\frac{t}{5}})\;\;\rightarrow \;\;-1\:=\:-\frac{t}{5}\cdot\:\log_{10}2\;\;\rightarrow t\:=\:\frac{5}{\log_{10}2}[/tex3] . Sendo log 2 = 0.3 [tex3]\therefore\:t\:=\:\frac{50}{3}\:minutos\:=\:16\:minutos\:e\:40\:segundos.[/tex3]
Espero que ajude, mano!! Dá aquele feedback se tiver dúvida ou se tiver compreendido bem!
Essa questão tem cara de cespe kkkk é deles?? já caiu umas várias parecidas com essa no vestibular da UnB! Vamos separar a resolução em 3 etapas de acordo com o que nos é fornecido, ok?
1) [tex3]\Delta T_{0}[/tex3] é a diferença de temperatura inicial, ou sejal, quando [tex3]t\:=\:0\:minutos[/tex3] ; essa situação corresponde ao momento em que o indivíduo tira o bolo do forno e o coloca sobre a pia. Segundo o enunciado, a temperatura ambiente é de 30°C e a do bolo é de 100°C. Logo, a diferença de temperatura é 100°C - 30°C => [tex3]\Delta T_{0}\:=\:70°C[/tex3] ; a função que ele forneceu fica, até o exato momento, deste jeito: [tex3]\Delta T_{(t)}\:=\:70\cdot e^{-kt}[/tex3] .
2) Em seguida, o examinador diz que após 5 minutos o bolo tinha temperatura exata de 65°C, enquanto o ambiente permance com os mesmos 30°C iniciais; perceba que subtendido está sendo fornecido a diferença de temperatura entre o bolo e o ambiente no tempo t = 5 minutos: [tex3]\Delta T_{(5)}\:=\:65°C\:-\:30°C\:=\:35°C[/tex3] . Se vc tem em mãos o [tex3]\Delta T[/tex3] no instante em que t = 5, tem o [tex3]\Delta T_{0}[/tex3] , com isso basta encontrar o valor da constante k. Vamos inserir os dados na função: [tex3]\Delta T_{(5)}\:=\:35\:=\:70\cdot e^{-k\cdot 5}\rightarrow \:\:e^{-5\cdot k}\:=\:\frac{1}{2}[/tex3] . Tirando o logatmo neperiano de ambos os lados: [tex3]\ln e^{-5\cdot k}\:=\:\ln 2^{-1}\rightarrow \:\:-5\cdot k\:=\:-\ln2\;\;\;\;\;\;\therefore\:\:k\:=\:\frac{\ln 2}{5}[/tex3] .
3) Na última situação, o examinador fornece que a temperatura ideal para se servir é de 37°C. Como o ambiente permance com os mesmo 30°C, pode-se calcular o valor de [tex3]\Delta T_{(t)}\:=\:37°C\:-\:30°C\:=\:7°C[/tex3] no tempo "t" a ser descoberto. Jogando os valores, novamente, na função, mas agora tendo em mãos o valor de "k":
[tex3]\Delta T_{(t)}\:=\:7\:=\:70\cdot e^{-\frac{\ln 2}{5}\cdot t}\;\;\;\rightarrow \:\frac{1}{10}\:=\:e^{-\frac{\ln 2}{5}\cdot t}\:(i)[/tex3] ; não sei se conhece mas há aquela propriedade do logaritmo em que se pode fazer [tex3]a^{\\log _{a}L}\:=\:L[/tex3] , tal como aparece na equação acima: [tex3]e^{-\frac{\ln 2}{5}\cdot t}[/tex3] , mas temos de ajeitar o logaritmo do expoente aí para que possa dar certo!!
[tex3]e^{-\frac{\ln 2}{5}\cdot t}\:=\:e^{\ln 2^{-\frac{t}{5}}}[/tex3] ; aplicando a propriedade: [tex3]e^{-\frac{\ln 2}{5}\cdot t}\:=\:2^{-\frac{t}{5}}\:(ii)[/tex3]
Jogando [tex3](ii)[/tex3] na equação [tex3](i)[/tex3] :
[tex3]\frac{1}{10}\:=\:2^{-\frac{t}{5}}[/tex3] . Tirando log (base 10!!) dos dois lados:
[tex3]\log_{10}(\frac{1}{10})\:=\:\log_{10}\:(2^{-\frac{t}{5}})\;\;\rightarrow \;\;-1\:=\:-\frac{t}{5}\cdot\:\log_{10}2\;\;\rightarrow t\:=\:\frac{5}{\log_{10}2}[/tex3] . Sendo log 2 = 0.3 [tex3]\therefore\:t\:=\:\frac{50}{3}\:minutos\:=\:16\:minutos\:e\:40\:segundos.[/tex3]
Espero que ajude, mano!! Dá aquele feedback se tiver dúvida ou se tiver compreendido bem!
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