Concursos Públicos ⇒ Números Complexos Tópico resolvido

[japaesah]

Consideremos o número complexo [tex3]z = 1+\sqrt{3}[/tex3]

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[tex3]z = 1+\sqrt{3}[/tex3]

i. Então a quinta potência de [tex3]z[/tex3]

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[tex3]z[/tex3]

, isto é, [tex3]z^{5}[/tex3]

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[tex3]z^{5}[/tex3]

é dada por:

A) [tex3]8 − 8 \sqrt[]{3} [/tex3]

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[tex3]8 − 8 \sqrt[]{3} [/tex3]

i
B) [tex3]10 - 10\sqrt[]{3} [/tex3]

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[tex3]10 - 10\sqrt[]{3} [/tex3]

i
C) [tex3]12 - 12 \sqrt[]{3}[/tex3]

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[tex3]12 - 12 \sqrt[]{3}[/tex3]

i
D) [tex3]14 - 14 \sqrt[]{3}[/tex3]

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[tex3]14 - 14 \sqrt[]{3}[/tex3]

i
E) [tex3]16 - 16 \sqrt[]{3}[/tex3]

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[tex3]16 - 16 \sqrt[]{3}[/tex3]

i

Resposta

---

alternativa E

[snooplammer]

Usa a primeira fórmula de moivre que a questão vai sair

[Killin]

Usa a primeira fórmula de moivre que a questão vai sair

Faz ae! Acho que essa questão tá errada.

[csmarcelo]

Está com cara de pequeno equívoco na transcrição das alternativas.

[tex3]a=1[/tex3]

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[tex3]a=1[/tex3]

[tex3]b=\sqrt{3}[/tex3]

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[tex3]b=\sqrt{3}[/tex3]

Logo,

[tex3]|z|=\sqrt{1^2+\sqrt{3}^2}=2[/tex3]

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[tex3]|z|=\sqrt{1^2+\sqrt{3}^2}=2[/tex3]

Portanto,

[tex3]\begin{cases}\cos\theta=\frac{1}{2}\\\sin\theta=\frac{\sqrt{3}}{2}\end{cases}\rightarrow\theta=\frac{\pi}{3}[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}\cos\theta=\frac{1}{2}\\\sin\theta=\frac{\sqrt{3}}{2}\end{cases}\rightarrow\theta=\frac{\pi}{3}[/tex3]

Agora, se

[tex3]z=|z|(\cos\theta+i\cdot\sin\theta)[/tex3]

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[tex3]z=|z|(\cos\theta+i\cdot\sin\theta)[/tex3]

Então

[tex3]z^5=|z|^5(\cos(5\theta)+i\cdot\sin(5\theta))[/tex3]

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[tex3]z^5=|z|^5(\cos(5\theta)+i\cdot\sin(5\theta))[/tex3]

Substituindo

[tex3]z^5=2^5\(\cos\(\frac{5\pi}{3}\)+i\cdot\sin\(\frac{5\pi}{3}\)\)[/tex3]

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[tex3]z^5=2^5\(\cos\(\frac{5\pi}{3}\)+i\cdot\sin\(\frac{5\pi}{3}\)\)[/tex3]

[tex3]z^5=2^5\(\cos\(\frac{\pi}{3}\)-i\cdot\sin\(\frac{\pi}{3}\)\)[/tex3]

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[tex3]z^5=2^5\(\cos\(\frac{\pi}{3}\)-i\cdot\sin\(\frac{\pi}{3}\)\)[/tex3]

[tex3]z^5=2^5\(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\)[/tex3]

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[tex3]z^5=2^5\(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\)[/tex3]

[tex3]z^5=16-16\sqrt{3}i[/tex3]

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[tex3]z^5=16-16\sqrt{3}i[/tex3]

[Killin]

É [tex3]1+\sqrt{3i}[/tex3]

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[tex3]1+\sqrt{3i}[/tex3]

não [tex3]1+i\sqrt{3}[/tex3]

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[tex3]1+i\sqrt{3}[/tex3]

[csmarcelo]

Tem razão! Ou o [tex3]i[/tex3]

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[tex3]i[/tex3]

é fora da raiz em todos os lugares, ou essa questão está zoada mesmo.

[japaesah]

Desculpe o erro, corrigi.