Concursos PúblicosSolução do problema de valor inicial Tópico resolvido

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tiagorchaves
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Mar 2018 28 20:34

Solução do problema de valor inicial

Mensagem não lida por tiagorchaves »

Oi, não entendi como se faz essa questão.
Obrigado!
Se y:[tex3]\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}[/tex3] é a solução do problema de valor inicial
[tex3]\begin{cases}
y''+y'+y=0 \\
y(0)=0 \\
y'(0)=3\frac{\sqrt{3}}{2}
\end{cases}[/tex3]
quanto vale y(2)?
(A) (3/e)*cos([tex3]\sqrt{3})[/tex3]
(B) (3/e)*sen([tex3]\sqrt{3})[/tex3]
(C) 3e*cos([tex3]\sqrt{3})[/tex3]
(D) 3e*sen([tex3]\sqrt{3})[/tex3]
(E) 3*(e-1)*cos([tex3]\sqrt{3})[/tex3]
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Resposta

B




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Cardoso1979
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Jun 2018 27 18:34

Re: Solução do problema de valor inicial

Mensagem não lida por Cardoso1979 »

Observe

Solução

Temos que, a equação auxiliar é:

r² + r + 1 = 0
∆ = - 3

Raízes: [tex3]r_{1}=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i[/tex3] , [tex3]r_{2}=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i[/tex3] , daí [tex3]\alpha=-\frac{1}{2}[/tex3] e [tex3]\beta=\frac{\sqrt
{3}}{2}>0[/tex3] . Portanto , a solução geral é dada por;

[tex3]y(x)=C_{1}.e^{\alpha x}.cos(\beta x)+C_{2}.e^{\alpha x }sen(\beta x)[/tex3]

Substituindo [tex3]\alpha =-\frac{1}{2} \ e \ \beta = \frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3] , na solução geral acima, fica;

[tex3]y(x)=C_{1}.e^{-\frac{x}{2}}.cos(\frac {\sqrt{3}}{2}x)+C_{2}.e^{-\frac{x}{2}}sen(\frac{\sqrt{3}}{2}x)[/tex3]

Das condições dadas, vem;

[tex3]y(0)=C_{1}.e^{-\frac{0}{2}}.cos(\frac {\sqrt{3}}{2}.0)+C_{2}.e^{-\frac{0}{2}}sen(\frac{\sqrt{3}}{2}.0)[/tex3]

[tex3]0=C_{1}.e^0.cos(0)+C_{2}.e^0.sen(0)[/tex3]

[tex3]C_{1}.1.1+C_{2}.1.0=0[/tex3]

[tex3]C_{1}=0[/tex3]

Por outro lado;

[tex3]y'(x)=[C_{1}e^{-\frac{x}{2}}.cos(\frac {\sqrt{3}}{2}x)+C_{2}e^{-\frac{x}{2}}sen(\frac{\sqrt{3}}{2}x)]'[/tex3]

Aplicando a regra da derivada do produto, temos;

[tex3]y'(x)= -\frac{C_{1}e^{-\frac{x}{2}}}{2}.cos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}x\right)- C_{1}e^{-\frac{x}{2}}.\frac{\sqrt{3}}{2}sen\left(\frac{\sqrt{3}}{2}x\right) - \frac{C_{2}e^{-\frac{x}{2}}}{2}.sen\left(\frac{\sqrt{3}}{2}x\right)+C_{2}e^{-\frac{x}{2}}.\frac{\sqrt{3}}{2}cos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}x\right) [/tex3]

Então;

[tex3]y'(0)= -\frac{C_{1}e^{-\frac{0}{2}}}{2}.cos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}.0\right)- C_{1}e^{-\frac{0}{2}}.\frac{\sqrt{3}}{2}sen\left(\frac{\sqrt{3}}{2}.0\right) - \frac{C_{2}e^{-\frac{0}{2}}}{2}.sen\left(\frac{\sqrt{3}}{2}.0\right)+C_{2}e^{-\frac{0}{2}}.\frac{\sqrt{3}}{2}cos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}.0\right) [/tex3]

[tex3]y'(0)= -\frac{C_{1}e^{0}}{2}.cos(0)- C_{1}e^{0}.\frac{\sqrt{3}}{2}sen(0) - \frac{C_{2}e^{0}}{2}.sen(0)+C_{2}e^{0}.\frac{\sqrt{3}}{2}.cos(0) [/tex3]


[tex3]y'(0)=-\frac{C_{1}.1}{2}.1-C_{1}.1.\frac{\sqrt{3}}{2}.0-\frac{C_{2}.1}{2}.0+C_{2}.1.\frac{\sqrt{3}}{2}.1[/tex3]

[tex3]y'(0)=-\frac{C_{1}}{2}+\frac{C_{2}\sqrt{3}}{2}[/tex3]

Como y'(0) = [tex3]\frac{3\sqrt{3}}{2}[/tex3] e [tex3]C_{1}=0[/tex3] , fica;

[tex3]\frac{3\sqrt{3}}{2} = - \frac{0}{2}+\frac{C_{2}\sqrt{3}}{2}[/tex3]

[tex3]C_{2}=3[/tex3]

Substituindo [tex3]C_{1}=0 \ e \ C_{2}=3[/tex3] na solução geral , temos;

[tex3]y(x)=0.e^{-\frac{x}{2}}.cos(\frac {\sqrt{3}}{2}x)+3.e^{-\frac{x}{2}}sen(\frac{\sqrt{3}}{2}x)[/tex3]

[tex3]y(x)=3.e^{-\frac{x}{2}}sen(\frac{\sqrt{3}}{2}x)[/tex3]

Por fim;

[tex3]y(2)=3.e^{-\frac{2}{2}}sen(\frac{\sqrt{3}}{2}.2)[/tex3]

[tex3]y(2)=3.e^{-1}.sen(\sqrt{3})[/tex3]

Portanto;

[tex3]y(2)=\frac{3}{e}.sen(\sqrt{3})[/tex3] , alternativa B.

Bons estudos!!




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