Mensagem não lida por Cardoso1979 » Qua 27 Jun, 2018 18:34
Mensagem não lida
por Cardoso1979 » Qua 27 Jun, 2018 18:34
Observe
Solução
Temos que, a equação auxiliar é:
r² + r + 1 = 0
∆ = - 3
Raízes: [tex3]r_{1}=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i[/tex3]
, [tex3]r_{2}=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i[/tex3]
, daí [tex3]\alpha=-\frac{1}{2}[/tex3]
e [tex3]\beta=\frac{\sqrt
{3}}{2}>0[/tex3]
. Portanto , a solução geral é dada por;
[tex3]y(x)=C_{1}.e^{\alpha x}.cos(\beta x)+C_{2}.e^{\alpha x }sen(\beta x)[/tex3]
Substituindo [tex3]\alpha =-\frac{1}{2} \ e \ \beta = \frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3]
, na solução geral acima, fica;
[tex3]y(x)=C_{1}.e^{-\frac{x}{2}}.cos(\frac {\sqrt{3}}{2}x)+C_{2}.e^{-\frac{x}{2}}sen(\frac{\sqrt{3}}{2}x)[/tex3]
Das condições dadas, vem;
[tex3]y(0)=C_{1}.e^{-\frac{0}{2}}.cos(\frac {\sqrt{3}}{2}.0)+C_{2}.e^{-\frac{0}{2}}sen(\frac{\sqrt{3}}{2}.0)[/tex3]
[tex3]0=C_{1}.e^0.cos(0)+C_{2}.e^0.sen(0)[/tex3]
[tex3]C_{1}.1.1+C_{2}.1.0=0[/tex3]
[tex3]C_{1}=0[/tex3]
Por outro lado;
[tex3]y'(x)=[C_{1}e^{-\frac{x}{2}}.cos(\frac {\sqrt{3}}{2}x)+C_{2}e^{-\frac{x}{2}}sen(\frac{\sqrt{3}}{2}x)]'[/tex3]
Aplicando a regra da derivada do produto, temos;
[tex3]y'(x)= -\frac{C_{1}e^{-\frac{x}{2}}}{2}.cos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}x\right)- C_{1}e^{-\frac{x}{2}}.\frac{\sqrt{3}}{2}sen\left(\frac{\sqrt{3}}{2}x\right) - \frac{C_{2}e^{-\frac{x}{2}}}{2}.sen\left(\frac{\sqrt{3}}{2}x\right)+C_{2}e^{-\frac{x}{2}}.\frac{\sqrt{3}}{2}cos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}x\right) [/tex3]
Então;
[tex3]y'(0)= -\frac{C_{1}e^{-\frac{0}{2}}}{2}.cos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}.0\right)- C_{1}e^{-\frac{0}{2}}.\frac{\sqrt{3}}{2}sen\left(\frac{\sqrt{3}}{2}.0\right) - \frac{C_{2}e^{-\frac{0}{2}}}{2}.sen\left(\frac{\sqrt{3}}{2}.0\right)+C_{2}e^{-\frac{0}{2}}.\frac{\sqrt{3}}{2}cos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}.0\right) [/tex3]
[tex3]y'(0)= -\frac{C_{1}e^{0}}{2}.cos(0)- C_{1}e^{0}.\frac{\sqrt{3}}{2}sen(0) - \frac{C_{2}e^{0}}{2}.sen(0)+C_{2}e^{0}.\frac{\sqrt{3}}{2}.cos(0) [/tex3]
[tex3]y'(0)=-\frac{C_{1}.1}{2}.1-C_{1}.1.\frac{\sqrt{3}}{2}.0-\frac{C_{2}.1}{2}.0+C_{2}.1.\frac{\sqrt{3}}{2}.1[/tex3]
[tex3]y'(0)=-\frac{C_{1}}{2}+\frac{C_{2}\sqrt{3}}{2}[/tex3]
Como y'(0) = [tex3]\frac{3\sqrt{3}}{2}[/tex3]
e [tex3]C_{1}=0[/tex3]
, fica;
[tex3]\frac{3\sqrt{3}}{2} = - \frac{0}{2}+\frac{C_{2}\sqrt{3}}{2}[/tex3]
[tex3]C_{2}=3[/tex3]
Substituindo [tex3]C_{1}=0 \ e \ C_{2}=3[/tex3]
na solução geral , temos;
[tex3]y(x)=0.e^{-\frac{x}{2}}.cos(\frac {\sqrt{3}}{2}x)+3.e^{-\frac{x}{2}}sen(\frac{\sqrt{3}}{2}x)[/tex3]
[tex3]y(x)=3.e^{-\frac{x}{2}}sen(\frac{\sqrt{3}}{2}x)[/tex3]
Por fim;
[tex3]y(2)=3.e^{-\frac{2}{2}}sen(\frac{\sqrt{3}}{2}.2)[/tex3]
[tex3]y(2)=3.e^{-1}.sen(\sqrt{3})[/tex3]
Portanto;
[tex3]y(2)=\frac{3}{e}.sen(\sqrt{3})[/tex3]
, alternativa B.
Bons estudos!!