Concursos Públicos ⇒ (FUMARC) - Progressão Geométrica

[NAiA]

Duas sequências são formadas pelos termos gerais:

[tex3]a_n=\left(\frac{(-1)^{n+1}}{2n-1}\right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a_n=\left(\frac{(-1)^{n+1}}{2n-1}\right)[/tex3]

e [tex3]b_n=(-1)^n\left(\frac{n+1}{2n-1}\right)[/tex3]

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[tex3]b_n=(-1)^n\left(\frac{n+1}{2n-1}\right)[/tex3]

Quando [tex3]n[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]n[/tex3]

tende para o infinito, pode-se observar que o comportamento dessas sequências é dado, respectivamente, por:

a) Divergente; convergente para zero.
b) Divergente; divergente.
c) Convergente para zero; convergente para zero.
d) Convergente para zero; divergente.

[csmarcelo]

Analisando [tex3]a_n[/tex3]

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[tex3]a_n[/tex3]

:

[tex3]-1^{n+1}[/tex3]

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[tex3]-1^{n+1}[/tex3]

será igual a 1 se [tex3]n[/tex3]

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[tex3]n[/tex3]

for ímpar.
[tex3]-1^{n+1}[/tex3]

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[tex3]-1^{n+1}[/tex3]

será igual a -1 se [tex3]n[/tex3]

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[tex3]n[/tex3]

for par.

Se [tex3]n[/tex3]

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[tex3]n[/tex3]

tende ao infinito, então [tex3]2n-1[/tex3]

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[tex3]2n-1[/tex3]

também tenderá.

[tex3]\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{2n-1}=\frac{x}{\infty}=0[/tex3]

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[tex3]\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{2n-1}=\frac{x}{\infty}=0[/tex3]

Analisando [tex3]b_n[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]b_n[/tex3]

:

[tex3]\lim_{n\rightarrow\infty}\left[(-1)^n\left(\frac{n+1}{2n-1}\right)\right]=\lim_{n\rightarrow\infty}\left[(-1)^n\left(\frac{n}{2n}\right)\right]=\lim_{n\rightarrow\infty}\left[(-1)^n\left(\frac{1}{2}\right)\right]=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{(-1)^n}{2}=\begin{cases}\frac{1}{2},\text{ se }n\text{ par}\\-\frac{1}{2},\text{ se }n\text{ ímpar}\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{n\rightarrow\infty}\left[(-1)^n\left(\frac{n+1}{2n-1}\right)\right]=\lim_{n\rightarrow\infty}\left[(-1)^n\left(\frac{n}{2n}\right)\right]=\lim_{n\rightarrow\infty}\left[(-1)^n\left(\frac{1}{2}\right)\right]=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{(-1)^n}{2}=\begin{cases}\frac{1}{2},\text{ se }n\text{ par}\\-\frac{1}{2},\text{ se }n\text{ ímpar}\end{cases}[/tex3]

Resposta: d.